Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Αυτό το άρθρο θα είχε δημοσιευθεί νωρίτερα, αλλά οι επιταγές της καθημερινής ζωής πήγαν τα πράγματα λίγο πίσω. 🙂 Έτσι, κάποιες αναφορές στον Νοέμβρη που δεν έχουμε πλέον μαζί μας, ας θεωρηθούν «μαθηματική αδεία».

Τώρα που έχει μπει ο Νοέμβρης στα καλά του, γκρι και μουντός όπως πάντα, και που το φθινόπωρο οδεύει προς το τέλος του, έρχεται σιγά-σιγά ο καιρός του Θεωρήματος Bolzano. Γενικά, με τις πανελλήνιες πολλά θεωρήματα της ύλης έχουν αποκτήσει μία ιδιαίτερη σχέση με τις εποχές του χρόνου. Οι παράγωγοι έρχονται εκεί γύρω στα Χριστούγεννα, το ΘΜΤ είναι πρωταγωνιστής τις ημέρες των γιορτών που γαλοπούλες ψήνονται και δέντρα στολίζονται, τα ολοκληρώματα βοηθούν στην πέψη μετά τις γιορτές και μας προετοιμάζουν για το τριώδιο ενώ έννοιες όπως «αντίστροφη συνάρτηση» έχουν ακόμα πάνω τους ένα άρωμα από καλοκαίρι.

Κάπως έτσι και το θεώρημα του Bolzano έχει μία φθινοπωρινή αύρα, καθώς συνήθως αυτόν τον καιρό είναι που ασχολούμαστε κατά κόρον με ασκήσεις επί ασκήσεων που το επικαλούνται με κάποιον τρόπο για να βγάλουν αυτό το πολυπόθητο αποτέλεσμα: «τουλάχιστον μία ρίζα». Η αλήθεια είναι ότι, ως θεώρημα, αυτό που μας λέει είναι κάτι ίσως πέρα κι από προφανές. Ωστόσο, η σημασία του για τη μαθηματική ανάλυση είναι κάτι παραπάνω από κομβική, θα έλεγε κανείς – κι αυτήν του, κυρίως, την πλευρά, θα φωτίσουμε παρακάτω.

Τι μας λέει το θεώρημα;

Πρακτικά, αυτό που μας λέει είναι ότι για να βγούμε από ένα περίκλειστο δωμάτιο πρέπει να περάσουμε την πόρτα (…). Πράγματι, ας δούμε λίγο τη διατύπωσή του:

Αν $f$ είναι μία συνάρτηση συνεχής στο $[a,b]$ με $f(a)f(b)<0$ τότε υπάρχει (τουλάχιστον ένα) $x_0\in(a,b)$ έτσι ώστε $f(x_0)=0.$

Πρακτικά, αυτό που μας λέει είναι ότι αν μία συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα και λίγο πιο πέρα βρίσκεται πάνω από αυτόν, τότε, αν δεν κάνει κατακόρυφα άλματα και είναι ορισμένη παντού μεταξύ αυτών των δύο θέσεων, θα πρέπει να τέμνει και τον ίδιο τον άξονα.

Εντάξει, δεν είναι και καμία τρομερή διαπίστωση. Αντιθέτως, είναι ίσως λίγο προφανής. Διότι, πράγματι, πώς θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε κάτω από τον άξονα $x'x$ και σχεδιάζοντας μονοκοντυλιά μία καμπύλη να καταλήξουμε πάνω από αυτόν χωρίς να περάσουμε από πάνω του; Σαφώς και δε θα γινόταν κάτι τέτοιο. Ή μήπως θα γινόταν;

Η αλήθεια είναι ότι αυτό που περιγράφει το θεώρημα είναι πολύ προφανές για να το χαρακτηρίζουμε ως θεώρημα – και όχι π.χ. ως λήμμα. Αλλά, προφανώς επίσης, για να έχει αποφανθεί η μαθηματική κοινότητα εδώ και τόσους αιώνες ότι, ναι, αυτό το αποτέλεσμα αξίζει να χαρακτηρίζεται θεώρημα, κάτι υπάρχει σε αυτό που το καθιστά, στην ουσία του, μη προφανές.

Ας πάρουμε το παρακάτω σχήμα, που είναι, αυτό που λέμε, η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος – και που το περιγράψαμε παραπάνω με λόγια:

Γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος του Bolzano.

Όπως βλέπουμε και παραπάνω, το θεώρημα του Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον οριζόντιο άξονα. Ή ύπαρξη αυτή, ωστόσο, δεν είναι τόσο απλό πράγμα όσο φαίνεται όταν μιλάμε για τους πραγματικούς αριθμούς. Όπως έχουμε δει στο παρελθόν, αν περιοριστούμε σε σχήματα τα οποία είναι κατασκευάσιμα μόνο με κανόνα και διαβήτη, τότε «εξερευνούμε» ένα υποσύνολο, μόνο, του επιπέδου – δείτε εδώ για περισσότερα. Αυτό που μας λέει, λοιπόν, το θεώρημα του Bolzano, είναι ότι όποιας συνεχούς συνάρτησης τη γραφική παράσταση κι αν πάρουμε σε κάποιο διάστημα, αν αυτή βρίσκεται και πάνω και κάτω από τον άξονα $x'x$ τότε θα τον τέμνει κιόλας. Επομένως, μας εξασφαλίζει την ύπαρξη σημείων επί του οριζόντιου άξονα. Αν τώρα, φυσιολογικά, ταυτίσουμε τον οριζόντιο άξονα με την ευθεία των πραγματικών αριθμών, το θεώρημα του Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη πραγματικών αριθμών επί της ευθείας των πραγματικών αριθμών και, άρα, με αυτόν τον τρόπο, υπονοείται η πληρότητα των πραγματικών αριθμών.

Για να φωτίσουμε την παραπάνω σχέση, ας τη δούμε από την ανάποδη. Αν, ας πούμε, αντί για το $[a,b]$ είχαμε ως πεδίο ορισμού μίας συνάρτησης μόνο το $[a,b]\cap\mathbb{Q}$ τότε, δεδομένων των υπόλοιπων υποθέσεων του θεωρήματος του Bolzano, δε μπορούμε να βγάλουμε το ίδιο συμπέρασμα. Πράγματι, ας πάρουμε την $f(x)=x^2-2$ ορισμένη στο $[0,2]\cap\mathbb{Q}.$ Τότε σαφώς η $f$ είναι συνεχής εκεί (εκτός σχολικής ύλης μία τέτοια απόδειξη) και $f(0)<0<f(2),$ ωστόσο δεν υπάρχει $x_0\in[0,2]\cap\mathbb{Q}$ έτσι ώστε $f(x_0)=0$ ακριβώς διότι η ρίζα της $f$ είναι ο $\sqrt{2}$ που είναι άρρητος.

Αν, ωστόσο, δεχτούμε το θεώρημα του Bolzano ως ένα από τα αξιώματά μας – για την ακρίβεια, αντί του αξιώματος της πληρότητας – τότε φαίνεται να μπορούμε να αποδείξουμε το αξίωμα της πληρότητας ως ένα θεώρημα από αυτό. Αλλά, ας μην μένουμε στο καθιστικό, ας περάσουμε κι ας σερβιρισζτούμε στην τραπεζαρία του απειροστικού λογισμού.

Από την πληρότητα στον Bolzano

Αρχικά, κάπου εδώ να πούμε ότι ο τίτλος αυτής της ανάρτησης θα ήταν «Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (4)». Ωστόσο, αυτός ο τίτλος είναι αρκετά μεγάλος και άβολος – γιατί χαλάει όλο το rendering της αρχικής σελίδας, που λένε και στο χωριό μου. Ως εκ τούτου, αν και μέρος της εν λόγω σειράς, ο τίτλος είναι διαφορετικός. Τώρα που βγάλαμε από τη μέση αυτήν την εξωμαθηματική υποχρέωση, ας περάσουμε στα πιο ενδιαφέροντα ζητήματα που θα μας απασχολήσουν παρακάτω. Αρχικά, θα αποδείξουμε το ίδιο το θεώρημα του Bolzano με τρόπο που να κάνει σαφές το πώς αυτό εξαρτάται από την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Γι’ αυτόν τον σκοπό θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη αναδιατύπωση του αξιώματος της πληρότητας – που έχουμε συζητήσει εκτενώς εδώ:

Αν $I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\dots$ είναι μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστημάτων πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε ${\rm diam}(I_k)\to0$ τότε υπάρχει μοναδικό $c\in\mathbb{R}$ έτσι ώστε $\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty I_k=\{c\}.$

Η παραπάνω διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας, αν και αρκετά πιο «φλύαρη» από τη συνήθη, καθώς μιλά για ακολουθίες διαστημάτων πραγματικών αριθμών, συγκλίσεις και μονοτονίες, είναι αρκετά κομψή και διαισθητική. Για την ακρίβεια, θα μας βοηθήσει στο να δώσουμε κι ένα αλγόριθμο που βρίσκει τη ρίζα που μας υπόσχεται το θεώρημα του Bolzano.

Αλλά, όλα στην ώρα τους, πρώτα απ’ όλα θα κάτσουμε να δούμε λίγο πώς θα πάει η δουλειά με την απόδειξη του θεωρήματος. Λοιπόν, η ιδέα του θεωρήματος είναι, όπως είπαμε, αρκετά απλή: αν κάποτε μία συνάρτηση είναι κάτω από τον οριζόντιο άξομνα και κάποτε πάνω από αυτόν, σε κάποια φάση – δεδομένου ότι είναι συνεχής – θα περάσει και από τον άξονα. Πιο αυστηρά, έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι έχουμε μία συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής στο $[a,b]$ και επιπλέον:

$f(a)<0<f(b).$

Τότε, κάπου εκεί ανάμεσα προσδοκούμε να έχει και μία ρίζα. Αλλά πού;

[Ξύσιμο του κεφαλιού]

Ε, ας πούμε ότι μία καλή και εύλογη επιλογή θα ήταν η συνάρτησή μας να είχε ως ρίζα το:

$c_0=\dfrac{a+b}{2}.$

Εύλογη μαντεψιά, θα έλεγε κανείς. Τώρα, εδώ έχουμε τρεις περιπτώσεις:

Να μας λένε Γκαστόνε Γκάντερ και να έχουμε πετύχει όντως μία ρίζα της $f$ και άρα το $x_0$ του θεωρήματος να είναι το $c_0.$ Οπότε σε αυτήν την περίπτωση απλώς σταματάμε την αναζήτησή μας.
Να είμαστε φυσιολογικές πάπιες και να ισχύει $f(c_0)>0$ ή $f(c_0)<0.$

Στην πρώτη απίθανη – όχι όμως κι αδύνατη – περίπτωση δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε. Στη δεύτερη όμως περίπτωση διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις:

Να είναι $f(c_0)>0$ οπότε σε αυτήν την περίπτωση θέτουμε $a_1=a$ και $b_1=c_0$ – θα δούμε παρακάτω γιατί.
Να είναι $f(c_0)<0$ οπότε σε αυτήν την περίπτωση θέτουμε $a_1=c_0$ και $b_1=b.$

Τώρα, τα $a_1,b_1$ που θέσαμε παραπάνω έχουν μία πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα:

$f(a_1)<0<f(b_1).$

Επίσης, ικανοποιούν και το εξής:

$b_1-a_1=\dfrac{b-a}{2}.$

Δηλαδή, την κατάσταση που είχαμε αρχικά με την $f$ να είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, αρνητική στο αριστερό του άκρο και θετική στο δεξί του την έχουμε αναπαραγάγει και τώρα, απλώς το διάστημα έχει ακριβώς το μισό μήκος από το αρχικό. Με άλλα λόγια, ακόμα και στην – πιθανότερη – περίπτωση που δεν πετυχαίνουμε τη ρίζα της $f$ με την πρώτη, καταφέρνουμε να κόψουμε στη μέση το διάστημα στο οποίο χρειάζεται να ψάξουμε, χωρίς να χάσουμε καμία από τις καλές ιδιότητες της $f$ σε αυτό.

Ε, τώρα που έχουμε φτάσει σε μία κατάσταση ίδια με την αρχική, αυτό που θα κάνουμε θα είναι… αυτό που κάναμε και αρχικά. Θέτουμε:

$c_1=\dfrac{a_1+b_1}{2},$

και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Αν το $c_1$ είναι ρίζα της $f$ απλά σταματάμε, γιατί βρήκαμε αυτό που ψάχναμε.
Αν όχι, διακρίνουμε όπως και παραπάνω, δύο υποπεριπτώσεις.

Έτσι, σε κάθε βήμα κόβουμε το διάστημα που μας ενδιαφέρει στη μέση, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα:

Από το παραπάνω σχήμα μπορούμε εύκολα να διατυπώσουμε τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι ακολουθίες $a_n,b_n:$

$a_n<b_n.$
$b_n-a_n=\dfrac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}$ για κάθε $n=2,3,\ldots$
Η $a_n$ είναι αύξουσα και η $b_n$ φθίνουσα.
$f(a_n)<0<f(b_n).$

Προφανώς, τα παραπάνω ισχύουν αν σε κανένα βήμα μας δεν πετύχουμε κάποια ρίζα της $f$ – άλλωστε, η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι ακριβώς 0. Τώρα, σε αυτήν την αποφράδα περίπτωση που δεν πετυχαίνουμε τη ρίζα, από τα παραπάνω μπορούμε εύκολα να ορίσουμε την ακολουθία κλειστών διαστημάτων πραγματικών αριθμών:

$I_n=[a_n,b_n].$

Αυτή η ακολουθία είναι φθίνουσα (άμεσο από την μονοτονία των $a_n,b_n$ κι από το παραπάνω σχήμα) ενώ ισχύει και ότι:

${\rm diam}(I_n)=\dfrac{b-a}{2^n}\to0.$

Συνεπώς, από τη διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας που δώσαμε παραπάνω έπεται ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός $c$ έτσι ώστε:

$\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty I_n=\{c\}.$

Αυτό άμεσα σημαίνει και ότι οι ακολουθίες $a_n,b_n$ αμφότερες συγκλίνουν στο $c.$ Τώρα, από τη συνέχεια της $f$ έπεται άμεσα και ότι:

$f(a_n)\to f(c)$ και $f(b_n)\to f(c).$

Αν δε θυμάστε την παραπάνω ιδιότητα, γνωστή και ως αρχή της μεταφοράς, δείτε εδώ μία σύντομη συζήτηση γι’ αυτήν αλλά και για τις συνεχείς συναρτήσεις.

Τώρα, αφενός έχουμε $f(a_n)<0$ άρα και $f(c)\leq0.$ Από την άλλη έχουμε $f(b_n)>0$ άρα και $f(c)\geq0.$ Επομένως, για να ισχύουν και οι δύο ανισότητες ταυτόχρονα πρέπει να έχουμε:

$f(c)=0.$

Συνεπώς, βρήκαμε την πολυπόθητη ρίζα που μας υποσχόταν το θεώρημα του Bolzano, άρα έχουμε αποδείξει και το ίδιο το θεώρημα!

Αλγοριθμικό ιντερλούδιο

Πριν περάσουμε στο αντίστροφο σκέλος της απόδειξής μας, ας συζητήσουμε λίγο για το πώς από την παραπάνω απόδειξη μπορούμε να πάρουμε, με ίσως παραπάνω από προφανή τρόπο, έναν αλγόριθμο για την αριθμητική προσέγγιση μίας (κάποιας) ρίζας μίας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε ένα κλειστό διάστημα.

Ας ξανακοιτάξουμε λίγο το σχήμα που βρίσκεται πίσω από την απόδειξη:

Μία απόδειξη του θεωρήματος του Bolzano — Ξανά τα ίδια…

Ο αλγόριθμος, πρακτικά, βασίζεται στην κατασκευή των ακολουθιών $a_n,b_n$ όπως παραπάνω, μέχρις ότου οι όροι τους να απέχουν το πολύ όσο μία δεδομένη επιθυμητή ακρίβεια – οπότε και θεωρούμε ότι έχουμε πετύχει μία εκτίμηση κάποιας ρίζας της $f$ με κατάλληλη ακρίβεια. Για να μη μακρυγορούμε, όμως, ας δούμε αμέσως μία υλοποίηση του παραπάνω αλγορίθμου σε python:

def bisection(f, a, b, epsilon): # f: real-valued function, a, b ,epsilon real numbers.
    if (b <= a) or f(a) * f(b) >= 0:
        return None
    c = (a + b) / 2
    while (b - a > epsilon and f(c) != 0):
        if (f(c) < 0):
            a = c
        else:
            b = c
        c = (a + b) / 2
    return c

Το παραπάνω, γνωστό και ως αλγόριθμος της διχοτόμησης, δεν είναι παρά μία απλή αποτύπωση της παραπάνω εικόνας σε κώδικα. Σε κάθε βήμα, εξετάζουμε αν έχουμε βρει την επιθυμητή ρίζα κι αν έχουμε φτάσει την επιθυμητή ακρίβεια και, αν όχι, συνεχίζουμε διχοτομώντας το διάστημά μας, φροντίζοντας κάθε φορά οι τιμές της συνάρτησής μας στα άκρα του διαστήματος που επιλέγουμε να είναι ετερόσημες. Για παράδειγμα, με το ακόλουθο τμήμα κώδικα μπορούμε να προσδιορίσουμε αριθμητικά με ακρίβεια εκατομμυριοστού τη μοναδική ρίζα της $f(x)=x^3+x+1$ στο $(-1,0):$

def bisection(f, a, b, epsilon): # f: real-valued function, a, b ,epsilon real numbers.
    if (b <= a) or f(a) * f(b) >= 0:
        return None
    c = (a + b) / 2
    while (b - a > epsilon and f(c) != 0):
        if (f(c) < 0):
            a = c
        else:
            b = c
        c = (a + b) / 2
    return c

def f1(x):
    return x ** 3 + x + 1

if __name__ == '__main__':
    f = f1
    a = -1
    b = 0
    epsilon = 10 ** (-6)
    print(bisection(f, a, b, epsilon))

Αν τρέξετε το παραπάνω τμήμα κώδικα, ανάλογα και με τον υπολογιστή στον οποίον θα το τρέξετε, θα βρείτε κάτι σαν το ακόλουθο: $-0.6823278038355056.$

Ο παραπάνω τρόπος επίλυσης της εξίσωσης δεν είναι αλγεβρικός, καθώς δε μας δίνει τη λύση της εξίσωσης μέσω μίας έκφρασης που να συμπεριλαμβάνει διάφορους αριθμούς και τους συντελεστές της $f$ – που είναι μία απλή πολυωνυμική συνάρτηση – αλλά αριθμητικός καθώς μας δίνει μία αριθμητική προσέγγιση της λύσης (με πεπερασμένη ακρίβεια, σαφώς). Σε ό,τι αφορά τις διάφορες εφαρμογές, σαφώς κι αυτό δε μας απασχολεί καθόλου, απλώς είναι καλό να έχουμε κατά νου ότι το σύνολο των εξισώσεων που μπορούμε να επιλύσουμε αριθμητικά είναι, εν γένει, μεγαλύτερο από αυτών που μπορούμε να επιλύσουμε αλγεβρικά.

Κλείνοντας αυτήν την μικρή αλγοριθμική παρένθεση, να πούμε εδώ ότι η παραπάνω εξίσωση έχει και αλγεβρική λύση, απλά, ο τύπος του Cardano είναι αρκετά άκομψος, είναι η αλήθεια, τουλάχιστον τόσο ώστε συχνά να είναι αρκετά αποθαρρυντικό να τον χρησιμοποιήσει κανείς. Περισσότερα για αλγορίθμους αριθμητικής επίλυσης δυσεπίλυτων μαθηματικών προβλημάτων θα συζητήσουμε ενδεχομένως στο μέλλον. Αλλά τώρα, πίσω στο θεώρημά μας!

Από τον Bolzano στην πληρότητα

Τη μία διαδρομή την είδαμε, και η αλήθεια είναι πως ήταν ιδιαίτερα αποκαλυπτική, καθώς σαν bonus κερδίσαμε έναν απλό αλγόριθμο αριθμητικής επίλυσης διαφόρων εξισώσεων που σε θεωρητικό επίπεδο αντιμετωπίζουμε με το θεώρημα του Bolzano. Τώρα ήρθε η ώρα να δούμε και την αντίστροφη πορεία: από το θεώρημα του Bolzano προς το αξίωμα της πληρότητας. Όπως είπαμε και κάπου παραπάνω, το θεώρημα του Bolzano είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών καθώς η ισχύς του εξασφαλίζει και την ύπαρξη διαφόρων αριθμών που δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε με τα πενιχρά αλγεβρικά μέσα που μας δίνουν οι πραγματικοί αριθμοί (πενιχρά για τις τεράστιες απαιτήσεις μας).

Λοιπόν, ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. Όπως και σε άλλες αποδείξεις του αξιώματος της πληρότητας, θα υποθέσουμε ότι ισχύουν όλα τα υπόλοιπα αξιώματα των πραγματικών αριθμών και, επιπρόσθετα, θα υποθέσουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας και το θεώρημα του Bolzano ως ένα ακόμα αξίωμα. Γνωρίζουμε δηλαδή, μαζί με τις αλγεβρικές ιδιότητες των αριθμών και ότι αν πάρουμε μία συνεχή συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα με ετερόσημες τιμές στα άκρα αυτού του διαστήματος τότε αυτή η συνάρτηση έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο εσωτερικό του.

Μιας και παραπάνω αναφερθήκαμε σε συνεχείς συναρτήσεις, ας θυμηθούμε μία ξανά τον ορισμό της συνέχειας μίας συνάρτησης σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της:

Μία συνάρτηση $f$ λέγεται συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει ένα $\delta>0$ έτσι ώστε για κάθε $x\in D_f$ με $|x-x_0|<\delta$ να ισχύει $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$

Δηλαδή, για να φρεσκάρουμε και λίγο τη διαίσθησή μας, συνεχείς είναι οι συναρτήσεις εκείνες που κοντά σε μία τιμή τους παίρνουν τιμές επίσης κοντά σε αυτήν.

Τώρα, με την βοήθεια των παραπάνω πρέπει να αποδείξουμε κάποια από τις μορφές του αξιώματος της πληρότητας που έχουμε δει ως τώρα – αν θέλετε να τις θυμηθείτε, δείτε εδώ. Για την ακρίβεια, θα επιλέξουμε τη συνήθη διατύπωσή του, κυρίως γιατί είναι η πιο απλή – αλλά και γιατί η απόδειξη έχει ιδιαίτερα κομψές ιδέες να μας παρουσιάσει. Επομένως, έστω ένα μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, $A.$ Στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι αυτό έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, ένα supremum, όπως λέμε. Ε, όπως και με πάρα πολλές αποδείξεις, θα πάμε με απαγωγή σε άτοπο – ή και όχι ακριβώς.

Έστω, λοιπόν, προς άτοπο, ότι το $A$ δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως εξής:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & x\in B\\-1 & x\not\in B\end{array}\right.,$

όπου $B$ είναι το σύνολο των άνω φραγμάτων του συνόλου $A.$ Έτσι, η $f$ είναι η συνάρτηση που είναι ίση με 1 στους αριθμούς που είναι άνω φράγματα του $A$ και -1 στους αριθμούς που δεν είναι άνω φράγματα του $A.$ Σαφώς, δεδομένου ότι κάθε πραγματικός αριθμός είτε είναι άνω φράγμα του $A$ είτε όχι, το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $f(\mathbb{R})=\{-1,1\}.$ Αυτό σημαίνει ότι η $f$ δεν έχει ρίζα, καθώς το 0 δεν είναι στοιχείο του συνόλου τιμών της. Έτσι, αν καταφέρουμε κι αποδείξουμε ότι είναι συνεχής, θα οδηγηθούμε σε άτοπο, γιατί, δεδομένου του θεωρήματος του Bolzano, θα έχουμε αποδείξει ότι η $f$ έχει ρίζα (άτοπο).

Όμως, πώς γίνεται μία συνάρτηση που παίρνει μόνο τις τιμές $-1$ και $1$ να είναι συνεχής; Πρακτικά, δεδομένου ότι μέχρι ένα σημείο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι άνω φράγματα του $A$ ενώ από ένα σημείο και μετά όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι άνω φράγματα του $A$ η γραφική παράσταση της $f$ θυμίζει ένα σκαλοπατάκι, όπως αυτό που βλέπουμε παρακάτω:

Βέβαια, στα παραπάνω, το ζουμερό είναι το σημείο της «φαινόμενης ασυνέχειας». Τώρα, αφού η $f$ είναι ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R},$ θα πρέπει να βάλουμε κάπου πάνω στη διακεκομμένη γραμμή μία κουκκίδα «μαυρισμένη» («μπλαβιασμένη», για την ακρίβεια). Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να κάνουμε το παρακάτω:

Αυτό, πρακτικά, σημαίνει ότι υπάρχει κάποιος αριθμός που αντιστοιχεί σε αυτό το μπλαβί σημείο, ο οποίος είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A.$ Αυτό, σαφώς, όπως είπαμε, δεν είναι δυνατό, καθώς έχουμε υποθέσει ότι το $A$ είναι ένα σύνολο που δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Συνεπώς, η γραφική παράσταση της $f$ δεν μπορεί να μοιάζει έτσι. Μία ακόμα εναλλακτική που έχουμε είναι αυτή:

Αυτό τώρα, αν και σημαίνει ότι το $A$ δεν έχει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα, σημαίνει ότι υπάρχει ένα μέγιστο στοιχείο με την ιδιότητα να μην είναι άνω φράγμα του $A.$ Όπως θα δούμε, αυτό είναι επίσης προβληματικό, καθώς τέτοια στοιχεία, γενικά, δε θα θέλαμε να υπάρχουν στους πραγματικούς αριθμούς. Πράγματι, αν ένας αριθμός $M$ είναι το μεγαλύτερο μη άνω φράγμα ενός συνόλου $A$ , τότε κάθε αριθμός πάνω από αυτόν πρέπει να είναι ένα άνω φράγμα. Όμως, αφού ο $M$ δεν είναι άνω φράγμα του $A$ πρέπει να υπάρχει κάποιο $a\in A$ με $a>M.$ Έτσι, ο αριθμός $\dfrac{a+M}{2}$ είναι μεγαλύτερος του $M$ και ταυτόχρονα όχι άνω φράγμα του $A,$ άτοπο. Άρα, ούτε η παραπάνω γραφική παράσταση είναι κατάλληλη για να σκεφτόμαστε την $f,$ καθώς αντιστοιχεί σε μία εικόνα που δε θα μπορούσε να συμβαίνει με κανέναν τρόπο στους πραγματικούς αριθμούς όπως τους ξέρουμε.

Ναι, αλλά ποια κουκκίδα από τις δύο θα μπλαβίσουμε, αν δεν μπορούμε να μπλαβίσουμε καμία; Διότι, αν μπλαβίσουμε τη μία υπονοούμε κάτι που δε γίνεται να συμβαίνει, ενώ αν μπλαβίσουμε την άλλη υπονοούμε κάτι που αντιβαίνει στις υποθέσεις μας.

Χμμμμμ…

Η καταλληλότερη αναπαράσταση για τη συνάρτηση $f$ είναι η ακόλουθη:

Μα, θα πει κανείς, εδώ λείπει ένα σημείο και η $f$ είναι ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}.$ Ναι, και δίκιο θα έχει όποιος το πει αυτό και πολύ καλά θα κάνει και θα το πει, αλλά, τι να κάνουμε που έτσι είναι «περίπου» η συνάρτηση που κατασκευάσαμε.

Αλλά, ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. Εμείς, όπως θα θυμάστε, ξεκινήσαμε να κάνουμε μία απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο. Για την ακρίβεια, υποθέσαμε ότι υπάρχει ένα σύνολο το οποίο είναι άνω φραγμένο, μη κενό, και δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Αυτό, όπως γνωρίζουμε ήδη εμείς από την εμπειρία μας με τους πραγματικούς αριθμούς, δεν είναι εφικτό καθώς θα σήμαινε τη μη ύπαρξη ενός πραγματικού αριθμού πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών – του supremum του συνόλου μας.

Σε αυτήν την τελευταία πρόταση κρύβεται και όλο το ζουμί της παραπάνω υπόθεσης. Αφού η υπόθεσή μας είναι ότι, στην ουσία, από την ευθεία των πραγματικών αριθμών λείπει ένας πραγματικός αριθμός, πρέπει αυτό να αποτυπώνεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ που σχετίζεται άμεσα με αυτόν, καθώς το σημείο της «φαινόμενης» ασυνέχειάς της είναι ακριβώς αυτό το supremum που έχουμε υποθέσει ότι δεν υπάρχει. Με αυτά κατά νου, η «σωστή» γραφική παράσταση για την $f$ είναι η τελευταία, όπου ένα σημείο λείπει από την ευθεία των πραγματικών αριθμών – δηλαδή το σύμπαν στο οποίο ζει η $f$ έχει «πρόβλημα», όχι η $f.$

Τώρα, από την τελευταία γραφική παράσταση είναι πολύ εύκολο να συμπεράνουμε ότι η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και άρα να καταλήξουμε σε άτοπο με το θεώρημα του Bolzano. Αυτό είναι η πρόθεσή μας τώρα να το κάνουμε και τυπικά. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι αν $x,y\in\mathbb{R}$ έτσι ώστε $x\not\in B$ και $y\in B$ τότε άμεσα έπεται ότι $x<y$ – μία απόδειξη αυτού έχουμε κάνει και παραπάνω, ουσιαστικά. Έτσι, όλες οι αρνητικές και όλες οι θετικές τιμές της $f$ είναι πράγματι «μοιρασμένες» όπως φαίνεται σε όλα τα παραπάνω σχήματα.

Τώρα, για τη συνέχεια θα επιλέξουμε ένα $x\in\mathbb{R}$ και θα επιλέξουμε δύο περιπτώσεις. Αρχικά, αν $x\in B$ τότε αφενός $f(x)=1$ και από την άλλη, ισχύει ότι:

$(-\infty,x)\cap B\neq\varnothing.$

Δηλαδή, υπάρχει ένα άνω φράγμα του $A$ γνήσια μικρότερο του $x.$ Αυτό είναι άμεσο από την υπόθεσή μας, καθώς αν δεν υπάρχει τότε έπεται ότι το $x$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A,$ άτοπο. Συνεπώς, υπάρχει $y<x$ με $y\in B$ και άρα η $f$ είναι σταθερή και ίση με 1 στο $[y,+\infty).$ Κατ’ επέκταση, είναι και συνεχής στο $x$ αφού είναι τοπικά σταθερή γύρω από αυτό.

Τώρα, με ανάλογο σκεπτικό, αν το $x\not\in B$ τότε και πάλι, ισχύει ότι:

$(x,+\infty)\cap (\mathbb{R}\setminus B)\neq\varnothing.$

Δηλαδή, υπάρχει στοιχείο γνήσια μεγαλύτερο από το $x$ που δεν είναι άνω φράγμα του $A.$ Αυτό, όμως, όπως είδαμε παραπάνω δεν είναι εφικτό καθώς αν όλοι οι αριθμοί στο $(x,+\infty)$ είναι άνω φράγματα του $A,$ έπεται άμεσα ότι κανένας από αυτούς δεν ανήκει στο $A$ – ειδάλλως, όλοι όσοι είναι μικρότεροι από αυτόν δε θα ήταν άνω φράγματα του $A.$ Συνεπώς, για κάθε $a\in A$ ισχύει ότι:

$a\not\in(x,+\infty)\Leftrightarrow a\leq x,$

άρα το $x$ είναι και άνω φράγμα του $A,$ άτοπο, γιατί έχει υποτεθεί ότι $x\not\in B.$ Συνεπώς, υπάρχει $y\not\in B$ με $y>x$ και άρα η $f$ είναι τοπικά σταθερή στο $(-\infty,y)$ και άρα και συνεχής σε αυτό – και, ειδικότερα, στο $x.$

Επομένως, όπως κι αν έχει, η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, όπως επιβεβαιώνει και το παραπάνω σχήμα. Δεδομένου, τώρα, ότι παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές, έπεται άμεσα από το θεώρημα του Bolzano ότι παίρνει και την τιμή $0,$ άτοπο, καθώς όπως είδαμε δεν μπορεί να πάρει άλλες τιμές πέρα από το $1$ και το $-1.$ Συνεπώς, δεν υπάρχει μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών το οποίο να μην έχει ελάχιστο άνω φράγμα, άρα πράγματι το αξίωμα της πληρότητας με τη συνήθη του μορφή ισχύει!

Επίλογος

Είδαμε εδώ πώς ένα σύνηθες και αρκετά προφανές θεώρημα της σχολικής ανάλυσης βρίσκεται επί της ουσίας στην καρδιά των μαθηματικών, όντας ισοδύναμο με το χαρακτηριστικότερο όλων των αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών: το αξίωμα της πληρότητας. Αυτό, πέρα απ’ το ότι αποδίδει «τα του Καίσαρος τω Καίσαρι», μας δίνει και την ευκαιρία να βουτήξουμε λίγο βαθύτερα στα νοήματα που κρύβονται πίσω από το θεώρημα του Bolzano. Δεν είναι τόσο η προφανής ιδιότητα των συνεχών συναρτήσεων ορισμένων σε ένα διάστημα να έχουν ρίζα (αν παίρνουν και ετερόσημες τιμές) όσο η ίδια η ύπαρξη του αριθμού που αποτελεί τη ρίζα τους. Η στίξη, στη διατύπωση του θεωρήματος του Bolzano δεν μπαίνει στην ύπαρξη μίας ρίζας, αλλά ενός πραγματικού αριθμού που έχει το ρόλο της ρίζας μίας συνεχούς συνάρτησης. Έτσι, αυτό που μας λέει το θεώρημα του Bolzano είναι πολύ πιο ουσιαστικό από ό,τι αποκαλύπτει μία πρώτη ανάγνωση: μας λέει ότι η ευθεία των πραγματικών αριθμών, στη συμβατική της θεώρηση, δεν έχει «τρύπες».

Τώρα, αυτό γεννά ένα ενδιαφέρον ερώτημα. Αν το θεώρημα του Bolzano είναι λογικά ισοδύναμο, δεδομένων των υπολοίπων αξιωμάτων, με το αξίωμα της πληρότητας, τότε τα αλγεβρικά αξιώματα των πραγματικών αριθμών μαζί με τα αξιώματα της διάταξης και το θεώρημα του Bolzano είναι επαρκή για να αποδείξουμε κάθε αποτέλεσμα του απειροστικού λογισμού που γνωρίζουμε. Επομένως, ίσως εδώ να υπάρχει πρόσφορο έδαφος για να διδαχθούν (όχι με το σκεπτικό να εξεταστούν, σαφώς) κάποιες αποδείξεις θεωρημάτων στην Γ’ Λυκείου που συνήθως αποφεύγουμε να κάνουμε, καθώς επικαλούνται με τρόπο άμεσο το αξίωμα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών – του οποίου η συνήθης διατύπωση είναι μακριά από τα όσα συνηθίζουμε σε μία σχολική τάξη μαθηματικών.

Αυτά, όμως, ας τα αφήσουμε για το μέλλον…

Μέχρι τότε, καλό διάβασμα!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Η λάμψη του Ήλιου του Emile Claus.

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media: