Η σωστή ερώτηση…

Σωστές και λάθος ερωτήσεις, όπως λέμε συνεχώς – και καλά κάνουμε – δεν υπάρχουν. Οπότε ο παραπάνω τίτλος ίσως δεν είναι παρά ένα κακοστημένο click-bait. Ωστόσο, σε κάποιες περιστάσεις, υπάρχουν ερωτήσεις που μπορούν να προάγουν έναν διάλογο κι ερωτήσεις που έχουν πιο τετριμμένα αποτελέσματα. Με αφορμή, λοιπόν, ένα σύνηθες περιστατικό από μια τάξη, θα ασχοληθούμε με μία τέτοια ερώτηση.

Ένας κλασσικός διάλογος

Μαθηματικά διδάσκουμε, εξισώσεις λύνουμε. Αρκετά συχνό είναι, λοιπόν, κάποια παιδιά που έχουν μία άνεση με τους νοερούς υπολογισμούς κ.λπ., να λύνουν πολλές εξισώσεις, ειδικά τις πιο απλές, «με το μάτι». Τυπικό δείγμα ενός διαλόγου μπορεί να είναι το εξής:

  • (Κ) Να λυθεί η εξίσωση: |2x-1|=x.
  • (ΜΜΕΣΠ) Εύκολο! x=1 ή x=\frac{1}{3}.
  • Πώς τις βρήκες;
  • Με το μάτι!

Στο παραπάνω, ΜΜΕΣΠ σημαίνει: «Μαθητής/τρια Με Ευχέρεια Στις Πράξεις». Με διάφορες παραλλαγές ως προς το ποια είναι η υποκείμενη εξίσωση και τα εκφραστικά μέσα που χρησιμοποιούν οι δύο συνδιαλεγόμενοι, ο παραπάνω διάλογος λαμβάνει χώρα αρκετά συχνά σε μία μαθηματική τάξη. Ωστόσο, η αλήθεια είναι ότι, ενώ έχω κάνει πολλές φορές την ερώτηση «πώς τις βρήκες» – ή κάποια αναλόγου περιεχομένου και νοήματος – τελικά μπορώ να πω ότι είναι ίσως μία άχρηστη ερώτηση.

Άχρηστη, διότι δεν προάγει τον διάλογο και άρα σκοτώνει μία ευκαιρία να αποκαλυφθεί ένα ακόμα λεπτό σημείο των μαθηματικών – που αφορά άμεσα τα παιδιά και είναι του επιπέδου τους. Σαφώς, αν ένα παιδί με το που δει μία εξίσωση βρει τις λύσεις της, θα το έχει κάνει με το μάτι, οπότε, το να ρωτήσουμε (μόνο) το παραπάνω είναι περιττό. Μία ίσως καλύτερη ερώτηση είναι η εξής:

  • Και πού ξέρεις ότι δεν υπάρχουν κι άλλες λύσεις;

Σαφώς, η παραπάνω ερώτηση μπορεί να ακολουθήσει ακριβώς μετά την απάντηση «με το μάτι», δεν έχει και πολλή σημασία. Αυτό που έχει σημασία είναι ότι με τον παραπάνω τρόπο μπορούμε να βρούμε μία ευκαιρία να αναδείξουμε τη σημασία της \Leftrightarrow κατά την επίλυση εξισώσεων, την έννοια της επαλήθευσης και, γενικά, τη λογική – με τη μαθηματική έννοια – πίσω από την επίλυση ακόμα και απλών εξισώσεων. Αν, δε, η τύχη μας χαμογελάσει, μπορεί να βρεθούμε ακόμα-ακόμα να συζητάμε για το τι συνιστά απόδειξη για τα μαθηματικά. Αλλά, ας τα δούμε ένα-ένα τα πράγματα…

Πώς λύνουμε εξισώσεις;

Αρχικά, ας θεωρήσουμε μία εξίσωση, δηλαδή μία έκφραση της μορφής:

f(x)=0,

για κάποια συνάρτηση f. Το να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση συνίσταται στο να προσδιορίσουμε ένα σύνολο A\subseteq D_f που να ικανοποιεί την παρακάτω ισοδυναμία:

f(x)=0\Leftrightarrow x\in A.

Αυτό το σύνολο πολλές φορές το συμβολίζουμε και με f^{-1}(\{0\}) και για κάποιες οικογένειες συναρτήσεων το λέμε και πυρήνα τους, αλλά όλα αυτά, προς το παρόν δε θα μας απασχολήσουν. Αυτό που έχει ζουμί εδώ είναι η έννοια της λογικής ισοδυναμίας. Αυτό που κάνουμε σε κάθε εξίσωση είναι, ξεκινώντας από την αρχική έκφραση της εξίσωσης, να εφαρμόζουμε μία σειρά από αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και, τελικά, να καταφέρνουμε να βρούμε ποια ακριβώς είναι τα στοιχεία του συνόλου A. Συνήθως, οι μετασχηματισμοί που κάνουμε είναι «αντιστρεπτοί» υπό την ακόλουθη έννοια. Έστω \mathcal{E} το σύνολο όλων των εκφράσεων της μορφής f(x)=g(x), δηλαδή:

\mathcal{E}:=\{(f,g)|:f,g:X\to\mathbb{R},X\subseteq\mathbb{R}\},

όπου στον παραπάνω ορισμό ταυτίζουμε τις παραπάνω εκφράσεις με όλα τα ζεύγη συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Σαφώς, ο παραπάνω ορισμός είναι λίγο χαλαρός, αλλά μας κάνει για αυτό που θέλουμε να παρουσιάσουμε. Θα αποκαλούμε αλγεβρικό μετασχηματισμό κάθε συνάρτηση F:\mathcal{E}\to\mathcal{E} με την ακόλουθη ιδιότητα:

f(x)=g(x)\Rightarrow F(f,g)(x)=F(f,g)(x).

Δηλαδή, ένας αλγεβρικός μετασχηματισμός διατηρεί τις ισότητες αναλλοίωτες ως προς την αλήθεια τους – πολύ χαλαρός ορισμός, επίσης, αλλά μας κάνει. Τώρα, από αυτούς τους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, ξεχωρίζουμε λίγο αυτούς που είναι «αντιστρεπτοί» με την έννοια ότι ικανοποιούν την ακόλουθη ιδιότητα:

f(x)=g(x)\Leftrightarrow F(f,g)(x)=F(f,g)(x).

Δηλαδή, μπορούμε να «ανακτήσουμε» την προηγούμενη σχέση που είχαμε αν εφαρμόσουμε τον F στην f(x)=g(x). Αυτό, πρακτικά, ισοδυναμεί με το να είναι ο F μία αντιστρέψιμη (και επί) συνάρτηση, δηλαδή να υπάρχει και να ορίζεται ο F^{-1} στο \mathcal{E} – με τον ορισμό που έχουμε δώσει ίσως δεν καλύπτουμε εξισώσεις με παράξενα σύνολα λύσεων, αλλά αυτό ας μη μας απασχολήσει για σήμερα.

Τέλος πάντων, πολύς φορμαλισμός θα πει κανείς και δίκιο θα έχει. Παραδείγματα αντιστρεπτών μετασχηματισμών που εφαρμόζουμε σε ισότητες είναι, για παράδειγμα, η πρόσθεση μίας σταθεράς και στα δύο μέλη της ενώ μη αντιστρεπτός μετασχηματισμός είναι, για παράδειγμα, η ύψωση και των δύο μελών μίας ισότητας στο τετράγωνο – ή, γενικά, η εφαρμογή μίας μη αντιστρέψιμης συνάρτησης και στα δύο μέλη μιας ισότητας.

Τώρα, όταν λύνουμε εξισώσεις, ο στόχος μας είναι να εφαρμόσουμε κατάλληλους μετασχηματισμούς έτσι ώστε από την αρχική σχέση μας να καταλήξουμε σε μία άλλη σχέση – ή και σύνολο σχέσεων, αλλά ας μείνουμε σε απλές περιπτώσεις που καλύπτονται από τον παραπάνω φορμαλισμό – που να περιγράφει το σύνολο λύσεων A όπως γράψαμε παραπάνω. Ιδανικά, όλοι οι μετασχηματισμοί που εφαρμόζουμε είναι αντιστρεπτοί, οπότε και δεν έχουμε να κάνουμε κάτι το ιδιαίτερο, καθώς σε κανένα σημείο της συλλογιστικής μας πορείας δεν έχουμε χάσει τη λογική ισοδυναμία των όσων λέμε, οπότε και αυτό το σύνολο που βρίσκουμε στο τέλος είναι, πράγματι, το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης.

Ωστόσο, η ζωή συχνά είναι σκληρή και σε κάποιο σημείο αναγκαζόμαστε να «σπάσουμε» αυτήν την ακολουθία λογικά ισοδύναμων ισοτήτων, εισάγοντας κάποιον μη αντιστρεπτό μετασχηματισμό – π.χ. υψώνοντας στο τετράγωνο ποσότητες που δεν ξέρουμε το πρόσημό τους. Σε αυτήν την περίπτωση, καταλήγουμε να αποδεικνύουμε την ακόλουθη συνεπαγωγή:

f(x)=0\Rightarrow x\in A^*.

Δηλαδή, έχουμε εντοπίσει ένα σύνολο στο οποίο αναγκαία βρίσκονται οι λύσεις της αρχικής μας εξίσωσης, ωστόσο δεν έχουμε εξακριβώσει ποια από τα στοιχεία του A^*\supseteq A είναι πράγματι λύσεις της. Έτσι, αν αυτά είναι λίγα, μπορούμε απλώς να επαληθεύσουμε τα όσα βρήκαμε, ενώ αν, π.χ. είναι άπειρα στο πλήθος, πρέπει να καταφύγουμε σε άλλα τεχνάσματα για να βεβαιωθούμε για το ποια από αυτά είναι πράγματι λύσεις της αρχικής εξίσωσης.

Καμία από τις δύο περιπτώσεις, ωστόσο, δεν είναι αυτή που περιγράφει το τι σημαίνει λύση «με το μάτι».

Με το μάτι…

Όταν βρίσκουμε «με το μάτι» μια λύση μίας εξίσωσης – ή και περισσότερες – τότε αυτό που κάνουμε είναι, ουσιαστικά, να προσδιορίζουμε ένα σύνολο B\subseteq A που περιέχεται στο πραγματικό σύνολο λύσεων της αρχικής εξίσωσης. Έτσι, διατυπώνουμε στην ουσία, την ακόλουθη συνεπαγωγή:

f(x)=0\Leftarrow x\in B.

Με άλλα λόγια, με το να λύνουμε μία εξίσωση «με το μάτι» διατυπώνουμε μία ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός λύση της. Ωστόσο, το ότι είναι ικανή δε σημαίνει ότι είναι και η μόνη που μπορεί να το επιτύχει αυτό. Γενικά, αυτό είναι το ζήτημα με τις ικανές συνθήκες. Ενώ δίνουν άμεσα μία λύση στο πρόβλημά μας, είναι ιδιαίτερα λακωνικές. Δε μας λένε τίποτα παραπάνω για άλλες περιπτώσεις που ίσως να μπορούν κι αυτές να δώσουν λύση στο πρόβλημά μας, σε αντίθεση με τις πιο «φλύαρες» αναγκαίες συνθήκες που καθορίζουν ένα συνήθως ευρύτερο σύνολο από αυτό που μας ενδιαφέρει. Έτσι, ενώ με μία αναγκαία συνθήκη χρειάζεται να «κοσκινίσουμε» τα αποτελέσματα που παίρνουμε έτσι ώστε να μας μείνουν μόνο οι λύσεις της εξίσωσης, με μία ικανή συνθήκη στα χέρια μας, έχουμε όλη τη δουλειά μπροστά μας, καθώς πρέπει να εξακριβώσουμε ότι δεν υπάρχουν κι άλλες λύσεις.

Ακριβώς αυτή η διαφορά μπορεί να αποτελέσει και το έναυσμα για ενδιαφέροντες διαλόγους στην τάξη σε σχέση με το πώς λύνουμε εξισώσεις. Η ερώτηση «Και πώς ξέρουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις από αυτές που βρήκαμε με το μάτι;» μπορεί να δώσει διαφορετικές τροπές στη συζήτηση. Αφενός, μπορεί να καταλήξουμε να συζητάμε για το πώς διαφέρουν οι ικανές από τις αναγκαίες συνθήκες, όπως παραπάνω, και το πώς πρέπει, αν μας απασχολεί να δώσουμε μία πλήρη λύση στο πρόβλημά μας, να εξασφαλίσουμε και τη «μοναδικότητα» των λύσεών μας – και όχι μόνο την ύπαρξή τους. Αφετέρου, μπορεί πολύ εύκολα να μας οδηγήσει σε ένα άλλο ενδιαφέρον μονοπάτι που αφορά το πώς αποδεικνύουμε πράγματα στα μαθηματικά. Για παράδειγμα, ο αρχικός μας διάλογος μπορεί να συνεχιστεί κάπως έτσι:

  • (Κ) Και πώς ξέρουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις από αυτές που βρήκαμε με το μάτι;
  • (ΜΜΕΣΠ) Ε, εντάξει, δοκίμασα κι άλλους αριθμούς και δεν βγαίνει η εξίσωση.

Το παραπάνω μπορεί να ερμηνευθεί σαν μία απόπειρα απόδειξης της ακόλουθης συνεπαγωγής:

x\not\in B\Rightarrow f(x)\neq 0,

όπου B είναι το σύνολο των λύσεων που έχουν εντοπιστεί «με το μάτι». Αυτό δεν είναι παρά το αντιθετοαντίστροφο της:

f(x)=0\Rightarrow x\in B,

που είναι και η συνεπαγωγή που μας λείπει έτσι ώστε από τη συνεπαγωγή:

f(x)=0\Leftarrow x\in B,

να περάσουμε στην ισοδυναμία:

f(x)=0\Leftrightarrow x\in B,

και άρα να έχουμε αποδείξει πράγματι ότι το σύνολο λύσεων της εξίσωσής μας είναι το B. Με αφορμή αυτό, μπορούμε να σταθούμε στο πώς, αν και η πρόθεση του ΜΜΕΣΠ είναι καθόλα σωστή – καθώς προσπαθεί να αποδείξει και το αντίστροφο από αυτό που έχει ήδη αποδείξει – στα μαθηματικά, δεν μπορούμε να εργαζόμαστε δειγματοληπτικά. Ή, για την ακρίβεια, μπορούμε, απλά όχι τόσο απλά. Για παράδειγμα, ας πάρουμε αυτήν την πολύ απλή εξίσωση:

2x+1=0.

«Με το μάτι» βλέπουμε ότι το x=-\frac{1}{2} είναι ρίζα της. Τώρα, πώς μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι, για παράδειγμα, το 4 δεν είναι ρίζα της; Σαφώς, κάνοντας έναν πολλαπλασιασμό και μία πρόσθεση και παρατηρώντας ότι 9>0. Για την ακρίβεια, οι πράξεις που κάναμε παραπάνω είναι οι εξής:

2\cdot4+1=8+1=9>0.

Στα παραπάνω, δεν αξιοποιούμε την ιδιαίτερη φύση που έχει το 4 ως πραγματικός αριθμός σε όλο της το «μεγαλείο», υπό την έννοια ότι το μόνο που μας χρειάζεται, πρακτικά, είναι το γεγονός ότι 4>-\frac{1}{2}. Πράγματι, αν στη θέση του 4 τοποθετήσουμε στα παραπάνω έναν οποιονδήποτε αριθμό x>-\frac{1}{2}, όλα μπορούν να δουλέψουν αρκετά καλά, καθώς, αν τον πολλαπλασιάσουμε επί δύο και προσθέσουμε 1 θα πάρουμε έναν θετικό αριθμό και, άρα, ο x δεν είναι λύση της αρχικής μας εξίσωσης. Αναλόγως, μπορούμε να εργαστούμε και για αριθμούς μικρότερους του -\frac{1}{2}.

Παραπάνω, δεν κάναμε τίποτα περισσότερο από αυτό που κάνουμε πάντα στα μαθηματικά. Αρχικά, πήραμε μία ειδική περίπτωση ενός αριθμού που δεν είναι ρίζα της εξίσωσής μας και αποδείξαμε ότι πράγματι, δεν είναι. Έπειτα, παρατηρήσαμε ότι από όλο το εννοιολογικό φορτίο που κουβαλά για τα μαθηματικά το σύμβολο «4», εμείς δεν αξιοποιήσαμε παρά μία πολύ ταπεινή του ιδιότητα: ότι 4>-\frac{1}{2}. Έτσι, γενικεύσαμε αρκετά εύκολα το σκεπτικό μας για κάθε αριθμό x>-\frac{1}{2} κι έπειτα, αναλόγως, για x<-\frac{1}{2}.

Αυτό που κάναμε παραπάνω είναι να πάρουμε μία τυπικά «λάθος» σκέψη και να την φέρουμε στη «σωστή» της μορφή στα μαθηματικά. Οι λέξεις «σωστή» και «λάθος», είναι σαφώς σε εισαγωγικά, γιατί καθόλου λάθος δεν είναι το να σκεφτόμαστε ένα πρόβλημα σε ειδικές περιπτώσεις του, πρώτα. Απλώς, στα μαθηματικά συνηθίζουμε να μη μένουμε σε αυτές αλλά να περνάμε σε πιο αφηρημένα χωράφια – κι αυτό είναι ίσως από τα πιο ενδιαφέροντα πράγματα που καλούμαστε να διδάξουμε σε μία τάξη μαθηματικών.

Επίλογος

Τέτοιες μικρές και συνηθισμένες σκηνές σε μία τάξη, όπως το να λύσουμε μία εξίσωση «με το μάτι», είναι συχνά το πιο πρόσφορο έδαφος για να ανοίξουμε συζητήσεις για λεπτά – ή και όχι τόσο λεπτά – ζητήματα των μαθηματικών. Ακριβώς επειδή αποτελούν συνήθεις πρακτικές, το να αποκαλυφθεί το πόσο βάθος υπάρχει από πίσω τους αποτελεί συχνά έκπληξη – όπως όταν κανείς «ξεσκεπάζει» πολύπλοκους ψυχολογικούς μηχανισμούς που διέπουν απλές και καθημερινές συνήθειες – και οδηγεί σε ενδιαφέρουσες συζητήσεις, Συζητήσεις που, προφανώς, δεν μπορεί κανείς να προβλέψει, καθώς κάθε τάξη είναι ουσιωδώς μοναδική, αλλά που μπορεί να σπρώξει προς συγκεκριμένες κατευθύνσεις, όπως παραπάνω.

Μέχρι την επόμενη φορά, καλή συνέχεια!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Ο Θάνατος του Σωκράτη του Jacques-Louis David.

Διαβάστε επίσης: Μία γνωστή σχέση…

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s