Αδύνατο vs Απίθανο – Μέρος Δ’

Είδαμε τις προηγούμενες εβδομάδες πολλά και διάφορα για το αν, τελικά, η έννοια του απίθανου συμπίπτει με αυτό που λέμε αδύνατο – δείτε εδώ, εδώ κι εδώ, αναλυτικότερα. Με λίγα λόγια, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι, πέρα από πεπερασμένα περιβάλλοντα, όπου το απίθανο και το αδύνατο είναι ένα και το αυτό, εν γένει δεν είναι το ίδιο. Για την ακρίβεια, σε άπειρους και αριθμήσιμους δειγματικούς χώρους βρήκαμε παραδείγματα ενδεχομένων τα οποία ενώ ήταν μη κενά – και άρα όχι αδύνατα – ήταν απίθανα – συνέβαιναν, δηλαδή, με πιθανότητα 0.

Το ίδιο κάναμε και με υπεραριθμήσιμους δειγματικούς χώρους, αλλά εκεί έχουμε αφήσει ακόμα κάποιες εκκρεμότητες. Για την ακρίβεια, την προηγούμενη εβδομάδα είχαμε ορίσει μία ενδιαφέρουσα σ-άλγεβρα, αυτή των Borel συνόλων που, για να θυμίσουμε πώς ορίζεται, είναι η ελάχιστη σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα διαστήματα πραγματικών αριθμών. Επίσης, είχαμε ορίσει ένα μέτρο, το οποίο το είχαμε ονομάσει μέτρο Lebesgue, και οριζόταν ως εξής:

$\displaystyle p(A)=\left\{\sum_{k=1}^\infty\ell(I_k):A\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty I_k,I_k\in\mathcal{I}\right\},$

όπου $\mathcal{I}$ είναι η κλάση όλων των (ανοικτών) διαστημάτων πραγματικών αριθμών.

Όπως δείξαμε, υπάρχει ένα σύνολο, το οποίο το είχαμε ονομάσει $E,$ το οποίο, με την υπόθεση ότι όλα τα παραπάνω είναι καλώς ορισμένα, είχαμε αποδείξει ότι δεν μπορεί να ανήκει στη σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του $[0,1].$ Με άλλα λόγια, έχουμε κατασκευάσει ένα σύνολο το οποίο δεν είναι ούτε πιθανό ούτε απίθανο, καθώς δεν μπορούμε με κάποιον τρόπο να αποτιμήσουμε την πιθανότητα αυτό να συμβεί.

Ωστόσο…

…τίποτα δεν είναι τόσο εύκολο όταν έχουμε να κάνουμε με τους πραγματικούς αριθμούς. Η αλήθεια είναι ότι ιδρώσαμε για να κατασκευάσουμε το σύνολο $E$ – δείτε εδώ για περισσότερες λεπτομέρειες – αλλά το ότι εμείς κοπιάσαμε δε σημαίνει με κανένα τρόπο ότι άξιζε και τον κόπο. Την προηγούμενη εβδομάδα είχαμε αφήσει ανεπιβεβαίωτη μία ιδιότητα του μέτρου Lebesgue, με την υπόσχεση να προσπαθήσουμε να την αποδείξουμε αυτήν την εβδομάδα. Για την ακρίβεια, είχαμε αποδείξει ότι για κάθε $A_1,A_2,\ldots\subseteq[0,1]$ ισχύει το εξής:

$\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)\leq\sum_{k=1}^\infty p(A_k).$

Αυτό που μας μένει να αποδείξουμε για να επιβεβαιώσουμε ότι το μέτρο Lebesgue είναι πράγματι ένα μέτρο πιθανότητας είναι η αντίστροφη ανισότητα. Για την ακρίβεια, δε χρειάζεται να την αποδείξουμε για κάθε επιλογή συνόλων $A_1,A_2,\ldots$ παρά μόνο για αυτά που είναι ξένα ανά δύο μεταξύ τους.

Ωστόσο (δις), έχουμε κι ένα άλλο πρόβλημα. Η σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του $[0,1]$ είναι μία σ-άλγεβρα που δεν προέκυψε «φυσικά» ως το πεδίο ορισμού του μέτρου Lebesgue. Αντιθέτως, εμείς θεωρήσαμε ότι είναι εύλογο αυτό να είναι ένα καλό πεδίο ορισμού, καθώς εκεί γενικεύονται αρκετά ομαλά ορισμένες ιδιότητες που είναι απαραίτητες για να έχει κάποιο νόημα κοντά στη διαίσθησή μας το μέτρο πιθανότητας που ορίζουμε. Τα μαθηματικά, όμως, δεν είναι υποχρεωμένα με κάποιον υπερφυσικό τρόπο να υπακούν στις επιθυμίες μας. Κάλλιστα, μπορεί το μέτρο Lebesgue να ορίζεται σε μία σ-άλγεβρα ευρύτερη των συνόλων Borel, η οποία να συμπεριλαμβάνει και το «κακό» σύνολο $E$ και άρα όσα λέμε περί συνόλων που δεν είναι ούτε απίθανα ούτε πιθανά να πηγαίνουν περίπατο.

Για να έχουν, λοιπόν, νόημα όσα λέμε, πρέπει να διευθετήσουμε αυτές τις δύο εκκρεμότητές μας. Σε αυτήν την κατεύθυνση θα μας βοηθήσει μία καινούργια έννοια – γιατί έτσι κάνουμε στα μαθηματικά, όποτε έχουμε πρόβλημα ορίζουμε κάτι νέο. Η έννοια αυτή θα αποτυπώνει μία ακόμα καλή ιδιότητα που θα θέλαμε να έχουν όσα σύνολα έχει νόημα να μπορούμε να αποτιμήσουμε την πιθανότητά τους να συμβούν – να είναι, δηλαδή, ενδεχόμενα.

Ώπα, θα πρέπει να πείτε εδώ. Αυτό, από την αρχή είχαμε πει ότι το αποτυπώνει η έννοια της σ-άλγεβρας! Και, πράγματι, το αποτυπώνει αρκετά καλά, δεδομένου ότι ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις που θα είχαμε από μία κλάση ενδεχομένων. Ωστόσο, εδώ θα κοιτάξουμε λίγο το πρόβλημα από την ανάποδη. Αν κάποιος κακός άνθρωπος μας δώσει ένα μέτρο πιθανότητας ή, για την ακρίβεια, μας δώσει κάτι «σαν μέτρο πιθανότητας», όπως το $p$ που έχουμε παραπάνω, ποια σύνολα θα είχε νόημα να μετρήσουμε με αυτό; Με άλλα λόγια, ποιο είναι το «φυσικό» πεδίο ορισμού του $p$ στο οποίο ισχύουν όλες οι καλές ιδιότητες ενός μέτρου πιθανότητας;

Εξωτερικά μέτρα

Σαφώς, μετά από τόση κουβέντα, αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι λίγα μαθηματικά. Λοιπόν, αρχικά, θα πρέπει να αποσαφηνίσουμε τι πάει να πει αυτό το «σαν μέτρο πιθανότητας» που αναφέραμε παραπάνω. Γι’ αυτόν τον σκοπό, ορίζουμε την έννοια του εξωτερικού μέτρου πιθανότητας ως εξής:

Αν $X$ ένα σύνολο και $p:\mathcal{P}(X)\to[0,1]$ θα λέγεται εξωτερικό μέτρο πιθανότητας στο $X$ αν:
1. $p(\varnothing)=0$
2. $A\subseteq B\Rightarrow p(A)\leq p(B)$
3. $\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)\leq\sum_{k=1}^\infty p(A_k)$ για κάθε $A_1,A_2,\ldots\subseteq X.$

Τώρα, αν εξαιρέσουμε τη δεύτερη ιδιότητα, το μέτρο Lebesgue ικανοποιεί τις άλλες δύο – το έχουμε αποδείξει αναλυτικά εδώ. Για τη δε μονοτονία δεν έχουμε να παρατηρήσουμε πως αν μπορούμε να καλύψουμε ένα σύνολο $B$ με τα διαστήματα $I_1,I_2,\ldots$ τότε θα μπορούμε να καλύψουμε και κάθε $A\subseteq B,$ επομένως πράγματι $p(A)\leq p(B)$ σε αυτήν την περίπτωση. Έτσι, το μέτρο Lebesgue όπως το έχουμε ορίσει ως τώρα, είναι ένα εξωτερικό μέτρο.

Επανερχόμαστε τώρα στην ερώτηση που θέσαμε παραπάνω:

Ποια σύνολα έχει νόημα να μετρήσουμε με το παραπάνω μέτρο έτσι ώστε αυτό, περιορισμένο σε αυτά τα σύνολα να είναι ένα μέτρο πιθανότητας;

Λοιπόν, για να είναι μέτρο πιθανότητας το $p$ θα θέλαμε να ισχύει η εξής ισότητα:

$\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum_{k=1}^\infty p(A_k),$

για κάθε $A_1,A_2,\ldots\subseteq X,$ ξένα ανά δύο. Ωστόσο, δεδομένης της ιδιότητας 3, αρκεί να γνωρίζουμε το εξής:

$\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)\geq\sum_{k=1}^\infty p(A_k).$

Τώρα, το παραπάνω είναι μία κάπως περίπλοκη σχέση, οπότε ίσως μας φανεί χρήσιμο να κάνουμε κάποιες σκέψεις πάνω σ’ αυτήν, έτσι ώστε να βρούμε κάτι κομψότερο.

Αρχικά, με δεδομένη την παραπάνω σχέση και την ιδιότητα 3 θα κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις. Ας πάρουμε δύο σύνολα $A,B.$ Τότε, από τα παραπάνω, έχουμε ότι:

$p(B)\leq p(A\cap B)+p(B\setminus A).$

Δηλαδή, αν πάρουμε το $B$ και επιλέξουμε να το «κόψουμε» σε δύο ξένα μέρη, όπως μας λέει το σύνολο $A,$ τότε η ιδιότητα 3 μας λέει ότι τα δύο κομμάτια έχουν τουλάχιστον το ίδιο μέγεθος με το αρχικό σύνολό μας. Ωστόσο, αν υποθέσουμε ότι το $B$ δεν είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο, αλλά ένα σύνολο που το $p$ το μετράει «καλά», δε θα θέλαμε αντί για $\leq$ στην παραπάνω σχέση να είχαμε $=;$ Διότι, πώς θα το μέτραγε καλά το σύνολο $B$ το $p$ αν μπορούσαμε με τη βοήθειά του να κόψουμε ένα άλλο σύνολο $B$ και να πάρουμε κάτι που είναι γνήσια μεγαλύτερο; – θα ήταν σαν να δημιουργούσαμε χώρο από το πουθενά.

Επομένως, μία ιδιότητα που θα θέλαμε να έχουμε τα σύνολα που μετράει «καλά» ένα εξωτερικό μέτρο είναι η εξής:

$p(B)=p(A\cap B)+p(B\setminus A),$

για κάθε σύνολο $B\subseteq X.$ Ας συμβολίσουμε αυτήν την κλάση συνόλων που έχουν την παραπάνω ιδιότητα με $\mathcal{M}.$

Τώρα, ας παρατηρήσουμε, για αρχή, ότι το ίδιο το $X$ την έχει αυτήν την ιδιότητα, καθώς αν $B\subseteq X$ τότε έχουμε:

$p(B)=p(B\cap X)=p(B\cap X)+0=p(B\cap X)+p(\varnothing)=p(B\cap X)+p(B\setminus X),$

που είναι ακριβώς αυτό που θέλουμε. Ομοίως, και το κενό σύνολο έχει αυτήν την ιδιότητα, κατά τετριμμένο τρόπο. Αν τώρα $A\in\mathcal{M}$ και $B\subseteq X$ τότε παρατηρούμε ότι:

$p(B)=p(B\cap A)+p(B\setminus A)=p(B\cap(X\setminus(X\setminus A))+p(B\cap(X\setminus A)),$

άρα και το $X\setminus A\in\mathcal{M},$ συνεπώς η $\mathcal{M}$ είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα.

Ας πάρουμε τώρα δύο σύνολα $A,B\in\mathcal{M}$ κι ένα σύνολο $C\subseteq X.$ Παρατηρούμε διαδοχικά ότι:

$\begin{aligned}p(C)&=p(C\cap A)+p(C\setminus A)=\\&=p(C\cap A\cap B)+p((C\cap A)\setminus B)+p(C\setminus A)=\\&=p(C\cap A\cap B)+p(C\cap A\cap(X\setminus B))+p(C\cap(X\setminus A))=\\&=p(C\cap A\cap B)+p(C\cap A\cap(X\setminus (A\cap B)))+p(C\cap(X\setminus A)\cap(X\setminus(A\cap B)))=\\&=p(C\cap A\cap B)+p((C\cap(X\setminus (A\cap B)))\cap A)+p(C\cap A\cap B)+p((C\cap(X\setminus (A\cap B)))\cap (X\setminus A))=\\&=p(C\cap(A\cap B))+p(C\cap(X\setminus(A\cap B)))=\\&=p(C\cap(A\cap B))+p(C\setminus(A\cap B)).\end{aligned}$

Αν αγνοήσουμε λίγο τα τεχνάσματα με τις πράξεις συνόλων που κάναμε παραπάνω, αυτό που έχουμε δείξει ως τώρα είναι ότι το $A\cap B$ κόβει επίσης καλά το $C,$ και άρα $A\cap B\in\mathcal{M}.$ Επομένως, η $\mathcal{M}$ είναι μία άλγεβρα. Αν καταφέρουμε και αποδείξουμε ότι είναι επίσης και σ-άλγεβρα, τότε θα έχουμε βρει ένα αρκετά φυσιολογικό πεδίο ορισμού για το $p.$

Λοιπόν, αφού δείξαμε ότι η $\mathcal{M}$ είναι άλγεβρα, θα μας φανεί χρήσιμο να αποδείξουμε ότι και το $p$ είναι (πεπερασμένα) προσθετικό σε αυτήν. Αυτό είναι σχετικά απλό, αφού αν $A,B\in\mathcal{M}$ είναι δύο ξένα σύνολα, τότε έχουμε:

$p(A\cup B)=p(A)+p(B\setminus A)=p(A)+p(B),$

δεδομένου ότι τα $A,B$ είναι ξένα μεταξύ τους και ότι μία άλγεβρα είναι κλειστή και ως προς τις πεπερασμένες ενώσεις.

Τώρα, με αυτό στα χέρια μας, θα θέλαμε να απποδείξουμε και ότι η $\mathcal{M}$ είναι σ-άλγεβρα και, αντίστοιχα, ότι το $p$ είναι ένα σ-προσθετικό μέτρο σε αυτήν. Έστω, λοιπόν, $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{M}$ κάποια σύνολα της $\mathcal{M}$ που είναι ξένα ανά δύο κι έστω:

$\displaystyle A:=\bigcup_{k=1}^\infty A_k.$

Αυτό που θα αποδείξουμε αρχικά είναι ότι $A\in\mathcal{M}.$ Γι’ αυτόν τον σκοπό πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε άλλο σύνολο $B$ ισχύει ότι:

$\displaystyle p(B)=p(A\cap B)+p(B\setminus A).$

Αρχικά, παρατηρούμε ότι ισχύει το εξής, δεδομένης της πεπερασμένης προσθετικότητας του $p$ :

$\displaystyle p(B)=p(B\cap A_1)+p(B\setminus A_1).$

Επίσης, και δύο σύνολα να πάρουμε, πάλι μπορούμε να αποδείξουμε το εξής:

$\displaystyle p(B)=p(B\cap(A_1\cup A_2))+p(B\setminus(A_1\cup A_2))=p(B\cap A_1)+p(B\cap A_2)+p(B\setminus(A_1\cup A_2)).$

Γενικότερα, δεδομένου ότι τα $A_k$ είναι ξένα ανά δύο, για κάθε $n$ μπορούμε εύκολα μέσω της πεπερασμένης προσθετικότητας του $p$ να αποδείξουμε το εξής:

$\displaystyle p(B)=\sum_{k=1}^np(B\cap A_k)+p\left(B\setminus\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)\right).$

Τώρα, δεδομένου ότι $\bigcup_{k=1}^nA_k\subseteq A$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ έπεται άμεσα από τη μονοτονία του $p$ και ότι:

$\displaystyle p(B)\geq\sum_{k=1}^np(B\cap A_k)+p\left(B\setminus A\right).$

Παίρνοντας όριο καθώς το $n\to\infty$ έχουμε άμεσα και το ακόλουθο:

$\displaystyle p(B)\geq\sum_{k=1}^\infty p(B\cap A_k)+p(B\setminus A).$

Τώρα, από την υποπροσθετικότητα του μέτρου έχουμε και ότι:

$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty p(B\cap A_k)\geq p(B\cap A),$

καθώς επίσης και ότι:

$p(B\cap A)+p(B\setminus A)\geq p(B).$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε την ανισότητα:

$\displaystyle p(B)\geq\sum_{k=1}^\infty p(B\cap A_k)+p(B\setminus A)\geq p(B\cap A)+p(B\setminus A)\geq p(B),$

η οποία μας οδηγεί στην ισότητα:

$\displaystyle p(B)=\sum_{k=1}^\infty p(B\cap A_k)+p(B\setminus A)=p(B\cap A)+p(B\setminus A).$

Από το παραπάνω έπεται άμεσα, αφενός, ότι $A\in\mathcal{M}$ και, αφετέρου, ότι:

$\displaystyle p(A)=\sum_{k=1}^\infty p(A_k),$

αν επιλέξουμε για $B=A.$ Συνεπώς, μ’ έναν σμπάρο δυο τρυγόνια, που λέμε, καθώς και δείξαμε ότι η $\mathcal{M}$ είναι μία σ-άλγεβρα αλλά και ότι το $p$ είναι ένα σ-προσθετικό μέτρο όταν περιοριστεί σε αυτήν.

Ναι, αλλά…

…τι γίνεται με τα σύνολα Borel; Καταφέραμε και βρήκαμε ένα «φυσιολογικό» πεδίο ορισμού για το μέτρο Lebesgue, ωστόσο, εξίσου «φυσιολογικά» είναι και τα σύνολα Borel σε ό,τι αφορά τις πιθανότητες και τα όσα συζητάμε. Όπως θα δούμε παρακάτω, η «φυσιολογικότητα» των συνόλων Borel είναι καθόλα συμβατή με τη «φυσιολογικότητα» των Lebesgue μετρήσιμων συνόλων, υπό την έννοια ότι [Spoiler alert] η σ-άλγεβρα των Borel συνόλων είναι υποσύνολο της $\mathcal{M}.$ Συνεπώς, όλα καλά, καθώς η αρχική μας διαίσθηση περί του πεδίου ορισμού του μέτρου Lebesgue και η «τελική» μας διαίσθηση συμβαδίζουν με τρόπο αρκετά ικανοποιητικό.

Ωστόσο, τα παραπάνω δεν είναι παρά λόγια του αέρα μέχρι να τα αποδείξουμε κιόλας. Επομένως, ας πάρουμε ένα σύνολο Borel κι ας δείξουμε ότι είναι και Lebesgue μετρήσιμο.

[…]

Ναι, αλλά πώς μοιάζουν τα σύνολα Borel; Δηλαδή, ποια ιδιότητά τους θα εκμεταλλευτούμε κατά την απόδειξή μας; Η αλήθεια είναι ότι αυτό μας έχει ξαναπροβληματίσει στο παρελθόν, αλλά εδώ δε θα χρειαστεί καθώς αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε κλειστό διάστημα είναι Lebesgue μετρήσιμο. Πράγματι, δεδομένου αυτού θα έχουμε ότι όλα τα κλειστά διαστήματα, και άρα όλα τα συμπληρώματα, οι τομές και οι ενώσεις τους, θα είναι επίσης μετρήσιμα – αφού η $\mathcal{M}$ είναι σ-άλγεβρα. Συνεπώς, θα είναι και όλα τα Borel σύνολα Lebesgue μετρήσιμα, οπότε και θα έχουμε ξεμπερδέψει.

Ακόμα καλύτερα, κάνουμε αυτήν την εξαιρετική παρατήρηση:

$[a,b]=[0,b]\setminus[0,a).$

Επίσης:

$\displaystyle[0,a)=\bigcup_{k=1}^\infty\left[0,a-\frac{1}{k}\right],$

συνεπώς μπορούμε να περιγράψουμε κάθε κλειστό διάστημα με διαστήματα της μορφής $[0,b].$ Έτσι, αρκεί να δείξουμε για αυτά μόνο ότι περιέχονται στην $\mathcal{M}$ αφού έτσι θα περιέχονται και τα κλειστά διαστήματα και άρα και όλα τα σύνολα Borel. Τώρα, αφού απλοποιήσαμε αρκετά το πρόβλημά μας, πρέπει και να το λύσουμε. Έστω, λοιπόν, ένα σύνολο $B$ κι έστω κι ένα διάστημα $I=[0,b]$ για κάποιο $b\in[0,1].$ Θέλουμε να δείξουμε ότι:

$p(B)=p(B\cap I)+p(B\setminus I).$

Όπως έχουμε πει, η $\leq$ ισχύει από την υποπροσθετικότητα του $p$ επομένως θέλουμε να αποδείξουμε την $\geq.$ Θεωρούμε ένα $\varepsilon>0$ οπότε υπάρχουν – από τον ορισμό του $p$ – διαστήματα $I_1,I_2,\ldots\subseteq[0,1]$ έτσι ώστε:

$\displaystyle B\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty I_k,$

και ταυτόχρονα:

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\ell(I_k)\leq p(B)+\varepsilon.$

Τώρα, θεωρούμε τα διαστήματα $J_k=I_k\cap I$ και τα διαστήματα $K_k=I_k\setminus I$ και παρατηρούμε άμεσα ότι:

$\displaystyle B\cap I\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty J_k,\ B\setminus I\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty K_k.$

Επίσης, σαφώς $J_k,K_k\subseteq I_k,$ άρα θα έχουμε και:

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty J_k\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty I_k,\ \bigcup_{k=1}^\infty K_k\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty I_k.$

Τότε, από όλα τα παραπάνω έχουμε:

$p(A\cap I)+p(A\setminus I)\leq\sum_{k=1}^\infty\ell(J_k)+\sum_{k=1}^\infty\ell(K_k)=\sum_{k=1}^\infty\ell(I_k)<p(A)+\varepsilon.$

Συνεπώς, αφού το $\varepsilon$ ήταν αυθαίρετο, έπεται ότι:

$p(A\cap I)+p(A\setminus I)\leq p(A),$

που ήταν και το ζητούμενο.

Έτσι, πράγματι, όλα τα Borel σύνολα είναι και μετρήσιμα και άρα μπορούμε να κοιμηθούμε ήσυχα.

Άρα;

Έχοντας καθορίσει ένα καλώς ορισμένο μέτρο πιθανότητας για τους πραγματικούς αριθμούς και έχοντας περιγράψει πλήρως τη σ-άλγεβρα στην οποία ορίζεται, επανερχόμαστε σε αυτό με το οποίο κλείσαμε την προηγούμενη σχετική ανάρτηση. Για να θυμηθούμε τι είχαμε κάνει, είχαμε ορίσει ένα σύνολο $E$ το οποίο δεν ήταν μετρήσιμο, με την έννοια που καθορίσαμε παραπάνω. Δηλαδή, δεν μπορούσαμε να αποτιμήσουμε το πόσο είναι ή όχι πιθανό να τραβήξουμε έναν αριθμό από αυτό το σύνολο. Κι εδώ, ερχόμαστε να συνοψίσουμε τα αποτελέσματα που έχουμε δει ως τώρα τις προηγούμενες εβδομάδες:

Όταν μιλάμε για πεπερασμένους δειγματικούς χώρους, μπορούμε σχετικά απλά να αποτυπώσουμε τη διαίσθησή μας σε αυστηρά μαθηματικά χωρίς να έχουμε «παρατράγουδα».
Όταν μιλάμε για άπειρους αλλά αριθμήσιμους δειγματικούς χώρους, έχουμε εγγενείς δυσκολίες στο να αποτυπώσουμε τη διαίσθησή μας με τρόπο που να μην οδηγεί σε πράγματα απίθανα κι όχι και αδύνατα.
Όταν μιλάμε για υπεραριθμήσιμους δειγματικούς χώρους, ο τρόπος που επιλέξαμε παραπάνω να αποτυπώσουμε τη διαίσθησή μας περί του τυχαίου είναι μεν συμβατός με τη διαίσθησή μας, γενικά, αλλά ο «χώρος» που μας δίνουν τα υπεραριθμήσιμα στο πλήθος στοιχεία που έχουμε στη διάθεσή μας είναι αρκετός για να κατασκευάσουμε όχι μόνο ενδεχόμενα που είναι απίθανα κι όχι αδύνατα, αλλά και ενδεχόμενα που δεν… ενδέχεται να τα μετρήσουμε με κάποιον τρόπο.

Συνεπώς, πέρα από τη διάκριση που κάνουμε ανάμεσα στο τι είναι απίθανο και το τι είναι αδύνατο, έχει νόημα να μιλήσουμε και για το τι είναι εύλογο να θεωρήσουμε ως πιθανό ή απίθανο. Το παραπάνω μας οδηγεί και στη ακόλουθη φυσιολογική ερώτηση: μήπως μπορούμε με κάποιον άλλο τρόπο να αποτυπώσουμε καλύτερα το τι θεωρούμε ως ενδεχόμενο σε αυτές τις περιπτώσεις έτσι ώστε να μην προκύπτουν τέτοια «παράδοξα» σύνολα; Αυτό ίσως το απαντήσουμε στο μέλλον…

Μέχρι τότε, καλό απόγευμα!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Νεκρή φύση με δοχείο μουστάρδας του Henri Fantin-Latour.

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

One comment

Ο/Η Πόσο Συνεχής είναι μια Παράγωγος; – aftermaths.gr λέει:

27 Μαρτίου 2023 στο 09:13

[…] ένα μέτρο σε διάφορες περιστάσεις (εδώ, εδώ, εδώ κι εδώ). Αλλά εδώ θα μας απασχολήσει ένα ιδιαίτερο μέτρο, που […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση