Άλλη μία εβδομάδα πέρασε, άλλα λίγα σχήματα μπήκαν στο τσουβάλι. Ας τα περάσουμε ένα-ένα, γιατί κι αυτήν την εβδομάδα έχουμε πολλά να πούμε.

Για τα σχήματα της προηγούμενης εβδομάδας δείτε εδώ, ενώ για όλες τις αναρτήσεις της σειράς μπορείτε να δείτε εδώ.

Ρίζες…

Το πρώτο σχήμα της εβδομάδας ήταν αυτό:

Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:

\documentclass[tikz, margin=5mm]{standalone}
 
\usepackage{ifthen}
 
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
 
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
    \draw[thick,->,name path=x axis] (-4,0) -- (4,0)node[pos=1,below]{$x$};
    \draw[thick,->,name path=y axis] (0,-3) -- (0,3)node[pos=1,left]{$y$};
    \node[left,yshift=-8pt](O) at (0,0){$O$};
    \foreach \i in {-3,-2,...,3}{
        \ifthenelse{\i=-3 \OR \i=3}{
            \draw (\i,-.1) -- (\i,.1) node[pos=0,below]{};
        }
        {
            \ifthenelse{\NOT \i=0}{
                \draw (\i,-.1) -- (\i,.1) node[pos=0,below]{};
                \draw (-.1,\i) -- (.1,\i) node[pos=0,left]{};
            }{}
        }
    }
    \draw[thick,green!40!black] (-4,0) -- (3.9,0)node[pos=1,above]{$y=0$};
    \draw[thick, name path=curve, color=blue!50!black] (-3,-1.5) .. controls (-1.9,3) and (2.6,-3) .. (3,2);
    \foreach \i in {1,2,3}{
        \node[circle, fill=orange, inner sep=1pt, name intersections={of={curve and x axis}}] (A\i) at (intersection-\i){};
    }
    \coordinate (O) at (0,0);
    \coordinate (X) at (1,1);
    \path let \p1=($ (X) -(O) $),\p2=($ (A1) - (O)$),\n1={\x2/\x1} in
    node at ($(A1)+(0,.5)$){$\textcolor{orange}{x_1\approx\pgfmathroundtozerofill{\n1}\pgfmathresult}$};
     
    \path let \p1=($ (X) -(O) $),\p2=($ (A2) - (O)$),\n1={\x2/\x1} in
    node at ($(A2)+(.4,.5)$){$\textcolor{orange}{x_2\approx\pgfmathroundtozerofill{\n1}\pgfmathresult}$};
     
    \path let \p1=($ (X) -(O) $),\p2=($ (A3) - (O)$),\n1={\x2/\x1} in
    node at ($(A3)+(0,-.5)$){$\textcolor{orange}{x_3\approx\pgfmathroundtozerofill{\n1}\pgfmathresult}$};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Εδώ έχουμε αρκετά να πούμε, είναι η αλήθεια. Αρχικά, δεν κάνουμε και τίποτα το ιδιαίτερο καθώς απλά σχεδιάζουμε τους άξονες, την αρχή των αξόνων και χρησιμοποιώντας μία δομή επανάληψης σχεδιάζουμε τις γραμμές πάνω στους άξονες. Παρατηρήστε πώς με έναν έλεγχο συνθήκης, ifthenelse{}{}{}, εξαιρούμε τα σημεία στα οποία δε μας ενδιαφέρει να σχεδιαστούν γραμμές πάνω στους άξονες – γι’ αυτόν τον σκοπό χρειαζόμαστε το πακέτο ifthenelse.

Αλλά αυτά τα έχουμε ξαναδεί στο παρελθόν. Αυτό που δεν έχουμε ξαναδεί είναι το πώς μπορούμε αν υπολογίσουμε, κατά προσέγγιση, τις συντεταγμένες του σημείου τομής δύο καμπυλών. Λοιπόν, αρχικά, με την παρακάτω εντολή σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που φαίνεται στο σχήμα:

\draw[thick, name path=curve, color=blue!50!black] (-3,-1.5) .. controls (-1.9,3) and (2.6,-3) .. (3,2);

Όπως είδαμε και την προηγούμενη εβδομάδα, αυτή η καμπύλη είναι μία καμπύλη Bézier – για τις οποίες επιφυλασσόμαστε να μιλήσουμε αναλυτικά στο σύντομο μέλλον. Παρατηρήστε ότι αυτής της καμπύλης της έχουμε δώσει και όνομα, έτσι ώστε αμέσως μετά να μπορέσουμε να την «φωνάξουμε» για να βρούμε τα σημεία τομής της με μία άλλη καμπύλη – στην προκειμένη, τον άξονα Για να το πετύχουμε αυτό χρησιμοποιούμε το ακόλουθο τμήμα κώδικα:

\foreach \i in {1,2,3}{
    \node[circle, fill=orange, inner sep=1pt, name intersections={of={curve and x axis}}] (A\i) at (intersection-\i){};
}

Εδώ, γνωρίζοντας ότι η καμπύλη μας τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε τρία σημεία, κατασκευάζουμε επαναληπτικά τρεις κόμβους, τον καθένα και σε ένα σημείο τομής της καμπύλης με τον άξονα . Όπως έχουμε δει, για να επικαλεστούμε το κ-οστό σημείο τομής μεταξύ δύο καμπυλών χρειάζεται πρώτα να δημιουργήσουμε τη λίστα των σημείων τομής με χρήση της παραμέτρου:

name intersections={of={curve and x axis}}

και στη συνέχεια να αναφερθούμε στο σημείο τομής χρησιμοποιώντας το όνομά του: intersection-k – όπου το k είναι ένας θετικός ακέραιος που υποδηλώνει τη θέση του σημείου τομής στη λίστα.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω κατασκευάζουμε τρεις πορτοκαλί κόμβους που φαίνονται στο σχήμα. Τώρα, θα θέλαμε να δώσουμε σε αυτούς τους κόμβους και τις αντίστοιχες ετικέτες, που να είναι κατά προσέγγιση οι θέσεις τους στον οριζόντιο άξονα. Η πρώτη λύση είναι να το κάνουμε με το μάτι, ωστόσο αυτό θα κατέστρεφε τη δυναμική του σχήματός μας, υπό την έννοια ότι αν μετατοπίζαμε λίγο την καμπύλη μας π.χ. προς τα δεξιά, δε θα ίσχυαν τα νούμερα που θα είχαμε υπολογίσει. Επομένως, πρέπει να σκεφτούμε κάτι πιο ενδιαφέρον κι έξυπνο.

Εδώ είναι που χρησιμοποιούμε – τρεις φορές, από ό,τι βλέπετε – την εντολή \path. Η συγκεκριμένη εντολή μας επιτρέπει να διαχειριζόμαστε μονοπάτια – δηλαδή «διαδρομές» από κόμβο σε κόμβο – και να κάνουμε διάφορες ενδιαφέρουσες πράξεις με αυτά. Αρχικά, καθορίζουμε δύο σημεία, με χρήση της εντολής \coordinate ως εξής:

\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (X) at (1,1);

Το πού θα μας χρειαστούν αυτά θα το δούμε σε λίγο. Προς το παρόν, με τη βοήθεια των παραπάνω καθορίζουμε δύο μονοπάτια όπως φαίνεται στο αρχικό τμήμα της παραπάνω εντολής:

\path let \p1=($ (X) -(O) $),\p2=($ (A1) - (O)$),...}

Αυτά τα δύο μονοπάτια είναι στην ουσία δύο σημεία, για την ακρίβεια το X που ορίσαμε παραπάνω και το πρώτο σημείο τομής που μας ενδιαφέρει, Α1. Με τη βοήθεια αυτών ορίζουμε το πηλίκο (πραγματικό αριθμό) \n1 ως εξής:

{..., \n1={\x2/\x1} ...}

Το εν λόγω πηλίκο δεν είναι τίποτα άλλο παρά το πηλίκο των τετμημένων των δύο σημείων που ορίσαμε παραπάνω. Και, θα πείτε τώρα, αφού το \x1 είναι ίσο με 1, γιατί καθόμαστε και κάνουμε όλη αυτή τη διαίρεση; Πίσω από αυτή τη διαίρεση κρύβεται μία (ακόμα) ιδιομορφία του tikz. Αν και μία από τις πιο συνηθισμένες μονάδες μέτρησης – και η προκαθορισμένη όταν σχεδιάζουμε κόμβους, καμπύλες κ.λπ. – είναι τα εκατοστά, αυτό δεν ισχύει και εσωτερικά για το tikz. Αν απλώς παίρναμε την τιμή \x2 τότε θα παίρναμε έναν αριθμό – σίγουρα – αλλά όχι στις μονάδες μέτρησης που θα θέλαμε. Αντίστοιχα, αν και το \x1 όταν μετρηθεί σε εκατοστά είναι 1, εσωτερικά το tikz δεν το αποθηκεύει με αυτόν τον τρόπο. Ο πιο εύκολος τρόπος για να μην μπλέξουμε με τις πολλές μονάδες μέτρησης που εμφανίζονται στο tikz είναι να πάρουμε το \x2 και να το διαιρέσουμε με το \x1, οπότε και αυτό που θα βρούμε – ο λόγος τους – θα είναι ο αριθμός που μας ενδιαφέρει σε εκατοστά.

Έπειτα, παίρνουμε τον αριθμό που υπολογίσαμε και τον χρησιμοποιούμε σε έναν κόμβο που σχεδιάζουμε στη θέση που μας βολεύει:

{... in node at ($(A2)+(.4,.5)$){$\textcolor{orange}{x_2\approx\pgfmathroundtozerofill{\n1}\pgfmathresult}$};

Εδώ τα πράγματα είναι σε γενικές γραμμές γνωστά, εκτός ίσως από τις εντολές \pgfmathroundtozerofill και \pgfmathresult. Η πρώτη στρογγυλοποιεί προς το μηδέν έναν αριθμό, διατηρώντας τα δύο πρώτα δεκαδικά του ψηφία ενώ η δεύτερη εκτυπώνει το αποτέλεσμα του τελευταίου υπολογισμού που έχει γίνει στη μνήμη – γενικά, αν κάνουμε υπολογισμούς στο tikz που θέλουμε να εκτυπωθούν κάπου στο σχήμα μας πρέπει να το πούμε ρητά χρησιμοποιώντας την εντολή \pgfmathresult ή άλλες παρόμοιες.

Έπειτα απλώς επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω για τα άλλα δύο σημεία τομής που έχουμε σχεδιάσει.

Άλλο ένα μεγάλο σχήμα…

Το επόμενο σχήμα μας είναι το εξής:

Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:

\documentclass[tikz, margin=5mm]{standalone}
 
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
 
\pgfdeclarelayer{bg}
\pgfsetlayers{bg,main}
 
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
    \fill[blue!5] (-4,-4) -- (4,4) -- (-4,4) -- cycle node[black, pos=.3, xshift=1cm]{$U$};
    \fill[red!5] (-4,-4) -- (4,4) -- (4,-4) -- cycle;
    \draw[draw=none, name path=bisectrix] (-4,-4) -- (4,4);
    \node[inner sep=0pt, outer sep=0pt](a) at (-2.4,2.7){};
    \draw[draw=none, name path={x-coord}] ($(-4,4)!(a)!(4,4)$) -- ($(-4,-4)!(a)!(4,-4)$);
    \draw[draw=none, name path={y-coord}] ($(-4,-4)!(a)!(-4,4)$) -- ($(4,-4)!(a)!(4,4)$);
    \draw[name intersections={of=bisectrix and y-coord}] (intersection-1) coordinate (b);
    \draw[name intersections={of=bisectrix and x-coord}] (intersection-1) coordinate (c);
    \fill[blue!15] (a) -- (c) -- (b) -- cycle;
    \fill[red!15] ($(-4,-4)!(a)!(4,-4)$) -- (c) -- (b) -- ($(4,-4)!(a)!(4,4)$) -- (4,-4) -- cycle node[black, pos=.3, yshift=2cm]{$L$};
    \draw[thick, ->] (-4,0) -- (4,0)node[pos=1,below]{$x$};
    \draw[thick, ->] (0,-4) -- (0,4)node[pos=1,left]{$y$};
    \draw[thick] (-4,-4) -- (4,4);
    \node[circle, inner sep=1.5pt, draw=black, fill=black, label={above}:{$A(a,f(a))$}](a-visible) at (a){};
    \node[circle, inner sep=1.5pt, draw=black, fill=black, label={above, xshift=-.85cm}:{$B(f(a),f(a))$}](b-visible) at (b){};
    \node[circle, inner sep=1.5pt, draw=black, fill=black, label={right}:{$C(a,a)$}](c-visible) at (c){};
    \draw[dashed, thick] ($(-4,-4)!(a)!(4,-4)$) -- (a) -- ($(4,-4)!(a)!(4,4)$);
    \node[draw=none, outer sep=0pt, inner sep=0pt](b-right-shift) at ($(b)+(.5,0)$){};
    \draw[thick, <->, red] (b-right-shift) -- ($(-4,-4)!(b-right-shift)!(4,-4)$);
    \node[circle, inner sep=1.5pt, draw=black, fill=black, label={left,yshift=-8pt}:{$f(a)+1$}](d) at ($(-4,0)!(b-right-shift)!(4,0)$){};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Η αλήθεια είναι ότι δεν είναι τόσο περίπλοκο όσο φαίνεται. Αυτό που ίσως δεν έχουμε ξανασυναντήσει είναι ο χρωματισμός σε πολλαπλές στρώσεις, που – αν και ακούγεται πολύ fancy – είναι ένα συνηθισμένο τέχνασμα που κάνουμε όταν θέλουμε να αποδώσουμε σε ένα σχήμα διαφορετικούς τόνους ενός χρώματος.

Λοιπόν, αρχικά, όπως βλέπετε, δε σχεδιάζουμε τους άξονές μας, αλλά χρωματίζουμε δύο τρίγωνα με ένα απαλό μπλε κι ένα απαλό κόκκινο – 5% περιεκτικότητα στο κάθε χρώμα και το υπόλοιπο άσπρο:

\fill[blue!5] (-4,-4) -- (4,4) -- (-4,4) -- cycle node[black, pos=.3, xshift=1cm]{$U$};
\fill[red!5] (-4,-4) -- (4,4) -- (4,-4) -- cycle;

Στο πρώτο τρίγωνο βάζουμε κι έναν κόμβο κάπου μέσα του σαν «ταμπέλα». Αν και έχουμε ξαναδεί το συντακτικό pos=... να πούμε ότι όταν έχουμε να κάνουμε με σχήματα που δεν είναι μονοδιάστατα – όπως ένα τρίγωνο – δεν είναι τόσο προφανές τι σημαίνει το 0.3 που έχουμε δώσει παραπάνω. Η αλήθεια είναι ότι απλή απάντηση στο πώς το tikz σκέφτεται σχήματα δύο διαστάσεων ως μονοδιάστατα δεν υπάρχει, γι’ αυτό και το πιο απλό που έχουμε να κάνουμε είναι να πειραματιστούμε λίγο με την τιμή για να τοποθετήσουμε το U εκεί ακριβώς που μας βολεύει.

Μετά πάμε και σχεδιάζουμε τρεις ευθείες και έναν κόμβο που είναι αόρατα, άρα, όπως φαντάζεστε, θα τα χρησιμοποιήσουμε μόνο για να κάνουμε κάποιους υπολογισμούς στο παρασκήνιο:

\draw[draw=none, name path=bisectrix] (-4,-4) -- (4,4);
\node[inner sep=0pt, outer sep=0pt](a) at (-2.4,2.7){};
\draw[draw=none, name path={x-coord}] ($(-4,4)!(a)!(4,4)$) -- ($(-4,-4)!(a)!(4,-4)$);
\draw[draw=none, name path={y-coord}] ($(-4,-4)!(a)!(-4,4)$) -- ($(4,-4)!(a)!(4,4)$);

Η πρώτη ευθεία είναι η διχοτόμος πρώτου-τρίτου τεταρτημορίου, ενώ ο κόμβος a είναι ένα σημείο σε μία θέση που απλά μας άρεσε. Οι άλλες δύο ευθείες, όπως μπορείτε να δείτε, είναι δύο ευθείες που είναι παράλληλες στους άξονες και διέρχονται από τον κόμβο a. Εδώ, να αναφέρουμε ότι οι παράμετροι inner sep και outer sep καθορίζουμε το πόσο απέχει το περιεχόμενο του κόμβου από το σύνορό του και το πόσο απέχουν διάφορα πράγματα που καταλήγουν σε αυτόν από το σύνορό του αντίστοιχα. Κάθε κόμβος έχει εκ προοιμίου θετικές τιμές για αυτές τις παραμέτρους και χρησιμοποιώντας απλά την παράμετρο \draw=none δεν μπορούμε να τις αλλάξουμε, οπότε και πρέπει απλά να τις θέσουμε ίσες με 0 «με το χέρι» – ή απλώς να χρησιμοποιήσουμε μία \coordinate όπως κάνουμε παρακάτω.

Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε πάλι δύο αόρατα σημεία, που είναι οι τομές των παραπάνω ευθειών με τη διχοτόμο που σχεδιάσαμε στην αρχή:

\draw[name intersections={of=bisectrix and y-coord}] (intersection-1) coordinate (b);
\draw[name intersections={of=bisectrix and x-coord}] (intersection-1) coordinate (c);

Έτσι, έχουμε σχεδιάσει τις κορυφές και τις πλευρές ενός αόρατου τριγώνου, που τώρα θα αρχίσουμε σιγά-σιγά να χρωματίζουμε:

\fill[blue!15] (a) -- (c) -- (b) -- cycle;
\fill[red!15] ($(-4,-4)!(a)!(4,-4)$) -- (c) -- (b) -- ($(4,-4)!(a)!(4,4)$) -- (4,-4) -- cycle node[black, pos=.3, yshift=2cm]{$L$};

Εδώ χρωματίσαμε με πιο έντονο κόκκινο και μπλε τις δύο περιοχές που μας ενδιαφέρουν περισσότερο στο παραπάνω σχήμα – τίποτα το ασυνήθιστο. Έπειτα, δεν κάνουμε και πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, καθώς σχεδιάζουμε τους άξονές μας, βάζουμε ορατούς κόμβους και ευθείες πάνω στα αόρατα σχήματα που σχεδιάσαμε και με λίγη γεωμετρία βάζουμε όλα όσα θέλουμε στη θέση τους. Το θέμα είναι, γιατί έπρεπε να σχεδιάσουμε πρώτα τον σκελετό του σχήματός μας αόρατα κι έπειτα να τον «πατήσουμε»;

Βασικά, το πρόβλημα μας το δημιουργεί ο χρωματισμός και η λίγο περίπλοκη δομή του σχήματός μας. Αν απλά σχεδιάζαμε τις ευθείες μας και έπειτα χρωματίζαμε ότι θέλαμε, ο χρωματισμός που θα κάναμε θα κάλυπτε μέρος των ευθειών – καθώς δεν τις λαμβάνει υπόψιν – οπότε και δε θα είχαμε το αποτέλεσμα που θέλουμε. Θα μπορούσαμε κάλλιστα να ξανασχεδιάσουμε από πάνω από τον χρωματισμό όσες ευθείες «πατήθηκαν», αλλά φαντάζεστε γιατί αυτό δεν είναι καλή πρακτική – δημιουργούμε επιπρόσθετες στρώσεις στο σχήμα μας χωρίς λόγο, μεγαλώνουμε το μέγεθος του αρχείου και το κάνουμε πιο δύσκολο στην ανάγνωση. Έτσι, με το να σχεδιάσουμε πρώτα τα κεντρικά σημεία του αόρατα και στην πορεία να τους δώσουμε υπόσταση γλυτώσαμε κόπο και διατηρήσαμε τη δυναμικότητα του σχήματος – αν αλλάξετε τη θέση του κόμβου a τα περισσότερα θα αλλάξουν θέση φυσιολογικά από μόνα τους.

Πίσω στα απλά

Το επόμενο σχήμα μας είναι αυτό:

Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:

\documentclass[tikz, margin=5mm]{standalone}
 
\pgfdeclarelayer{bg}
\pgfsetlayers{bg,main}
 
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
 
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
    \draw[thick,->,name path=x axis] (-2,0) -- (2,0)node[pos=1,below]{$x$};
    \draw[thick,->,name path=y axis] (0,-2) -- (0,2)node[pos=1,left]{$y$};
    \node[left,yshift=-8pt](O) at (0,0){$O$};
    \draw[thick, name path=line, color=blue!50!black] (0,0) -- (1.8,1.4)node[pos=1,above]{$f(x)=a|x|$};
    \draw[thick, color=blue!50!black] (0,0) -- (-1.8,1.4);
    \draw[draw=none, name path=curve] (1,-2) -- (1,2);
    \node[circle, fill=orange, inner sep=1pt, name intersections={of={line and curve}}](A) at (intersection-1){};
    \begin{pgfonlayer}{bg}
    \draw[dashed, orange] (0,0) rectangle (A);
    \end{pgfonlayer}
    \node[left, orange] at ($(0,-2)!(A)!(0,2)$){$a$};
    \node[below, orange] at (1,0){$1$};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Εντάξει, δεν είναι και κάτι το τρομερό, ας το δούμε σαν αποθεραπεία από τα προηγούμενα. Βασικά, εδώ δεν έχουμε τίποτα το τρομακτικό, πέρα ίσως από το γεγονός ότι χρησιμοποιούμε και πάλι ένα σημείο τομής με τη βοήθεια της βιβλιοθήκης intersections για να τοποθετήσουμε έναν κόμβο αντί να το κάνουμε με το χέρι – εντάξει, όχι και κάτι το τρομερό.

Άλλο ένα απλό σχήμα

Το τελευταίο μας σχήμα είναι το εξής:

Ο αντίστοιχος κώδικας είναι ο εξής:

\documentclass[tikz, margin=5mm]{standalone}
 
\pgfdeclarelayer{bg}
\pgfsetlayers{bg,main}
 
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
 
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
    \draw[thick,->,name path=x axis] (-1,0) -- (3,0)node[pos=1,below]{$x$};
    \draw[thick,->,name path=y axis] (0,-2) -- (0,2)node[pos=1,left]{$y$};
    \node[left,yshift=-8pt](O) at (0,0){$O$};
    \draw[thick, name path=line, samples=200, domain=0:2.7, color=blue!50!black] plot (\x,{.9*sqrt(\x)});
    \node[color=blue!50!black] at (1.2,-1){$f(x)=a\sqrt{x}$};
    \draw[draw=none, name path=curve] (1,-2) -- (1,2);
    \node[circle, fill=orange, inner sep=1pt, name intersections={of={curve and line}}](A) at (intersection-1){};
    \begin{pgfonlayer}{bg}
    \draw[dashed, orange] (0,0) rectangle (A);
    \end{pgfonlayer}
    \node[left, orange] at ($(0,-2)!(A)!(0,2)$){$a$};
    \node[below, orange] at (1,0){$1$};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Κι εδώ, αν το παρατηρήσετε, το μόνο που αλλάξαμε από το παραπάνω σχήμα είναι ό,τι αφορά τη γραφική παράσταση της τετραγωνικής ρίζας – τα άλλα είναι όλα τους παρόμοια. Αυτό ίσως που είναι άξιο σχολιασμού είναι το πόσα πολλά σημεία χρησιμοποιήσαμε για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της Η αλήθεια είναι ότι θέσαμε samples=200 γιατί κοντά στο 0 η γραφική παράσταση της τετραγωνικής ρίζας αλλάζει κλίση πολύ απότομα – κάτι που μπορείτε να διαπιστώσετε αν την παραγωγίσετε εκεί γύρω – οπότε και με λιγότερα σημεία το σχήμα έδινε έντονα την αίσθηση ότι επρόκειτο για τεθλασμένη γραμμή κι όχι για ομαλή καμπύλη.

Αυτά και για αυτήν την εβδομάδα. Μέχρι την επόμενη εβδομάδα, που θα δούμε ακόμα πιο ενδιαφέροντα σχήματα – μάλλον – καλή συνέχεια!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Η κυρία Gaillard και η κόρη της Marie-Thérèse της Mary Cassatt.