Αδύνατο vs Απίθανο – Μέρος Α’

Πρόσφατα, με αφορμή μία άλλη ανάρτηση εδώ στο aftermaths για το π και την υπερβατικότητά του – δείτε εδώ – προέκυψε μία μικρή συζήτηση στο facebook σε σχέση με το τι μπορεί να είναι απίθανο και τι αδύνατο. Η αλήθεια είναι ότι στην καθομιλουμένη συχνά χρησιμοποιούμε αδιακρίτως τον έναν ή τον άλλο όρο για να μιλήσουμε για το ίδιο πράγμα – κάτι που θεωρούμε ότι δεν είναι εφικτό να συμβεί ή και κάτι που το να συμβεί ισοδυναμεί με το να ξανακερδίσουμε το Euro στο ποδόσφαιρο. Ωστόσο, από τη σκοπιά των μαθηματικών είναι το ίδιο πράγμα;

Τύχη και ατυχία

Τι είναι τύχη και τι ατυχία; Η αλήθεια είναι ότι πρώτα θα έπρεπε να κάνουμε ένα βήμα πίσω και να αναρωτηθούμε το εξής: υπάρχει τυχαιότητα στον κόσμο; Ωστόσο, η παραπάνω ερώτηση έχει ένα «ψεγάδι»: τη λέξη «κόσμος». Τα μαθηματικά δεν ασχολούνται με τον κόσμο – απλά έχουν εφαρμογές σε αυτόν – οπότε, γιατί να μας απασχολήσει κάτι τέτοιο; Για εμάς και για τη συζήτησή μας θα υπάρχει τυχαιότητα. Τώρα, αν αυτή σε ένα επίπεδο φυσικής ερμηνεύεται ως απλά ένας φορμαλισμός της αδυναμίας μας να γνωρίζουμε κάθε στιγμή τα πάντα για τον κόσμο μας ή αν ερμηνεύεται ως γνήσια τυχαιότητα ή ο,τιδήποτε άλλο, δε θα μας απασχολήσει. Με τον έναν ή τον άλλο τρόπο, δεχόμαστε ότι έχουμε γεγονότα τα οποία δεν μπορούμε να προβλέψουμε πλήρως αιτιοκρατικά για διάφορους λόγους.

Επομένως, κάτι που μας ενδιαφέρει τώρα είναι να μετρήσουμε το πόσο πιθανό ή όχι είναι ένα τυχαίο ενδεχόμενο – ή απλά ενδεχόμενο – να συμβεί. Διότι, αν έχουμε ένα σύνολο από ενδεχόμενα, είναι αναμενόμενο να μην είναι απαραίτητα το ίδιο πιθανό να συμβούν όλα από αυτά. Για παράδειγμα, περιμένουμε να είναι πιο πιθανό να φέρει ένα ζάρι κάποιον άρτιο αριθμό από το να φέρει απλά 4 – απλά και μόνο γιατί το πρώτο περιέχει περισσότερες επιλογές. Επομένως, κάπως πρέπει να αποτυπώσουμε με αυστηρότερους όρους το τι είναι αυτό που μετράμε, το πώς το μετράμε, τι ιδιότητες έχει και γιατί αυτές οι ιδιότητες αποτελούν έναν καλό φορμαλισμό της διαίσθησής μας.

Ενδεχόμενα

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να καθορίσουμε είναι το πώς μπορεί να μοιάζουν τα ενδεχόμενα ενός τυχαίου πειράματός μας – τυχαίο πείραμα θα λέμε κάθε διαδικασία που περιλαμβάνει κάποιο τυχαίο γεγονός. Ως ενδεχόμενο, γενικά, εννοούμε ένα από τα πιθανά («ενδεχόμενα») αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος, αλλά πώς μπορούμε να το πούμε αυτό στα μαθηματικά; Λοιπόν, αρχικά, όλα τα ενδεχόμενά μας θα αποτελούν μέλη μίας κλάσης ενδεχομένων που θα τη συμβολίζουμε με $\mathcal{A}.$ Τώρα θα κάτσουμε να καταγράψουμε όλες τις ουσιαστικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν τα μέλη της κλάσης $\mathcal{A}:$

Αρχικά, αν $A,B\in\mathcal{A}$ είναι δύο ενδεχόμενα, θα θέλαμε και η ένωσή τους να είναι ενδεχόμενο, επομένως πρέπει να ισχύει η ακόλουθη συνεπαγωγή: $A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}.$
Με ανάλογο σκεπτικό, θέλουμε το τετριμμένο ενδεχόμενο να συμβαίνει οποιοδήποτε από τα ενδεχόμενά μας – η ένωσή τους, δηλαδή – να θεωρείται επίσης ένα ενδεχόμενο. Επομένως, αν $\Omega:=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A,$ θέλουμε $\Omega\in\mathcal{A}.$
Με εντελώς ανάλογο σκεπτικό, αν έχουμε δύο ενδεχόμενα, τότε θα θέλαμε και η τομή τους – να συμβούν δηλαδή και τα δύο – να είναι ένα ενδεχόμενο. Επομένως, θέλουμε και την ακόλουθη συνεπαγωγή να ισχύει: $A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{A}.$
Κάτι άλλο που κάνουμε συχνά όταν μιλάμε για ενδεχόμενα είναι να αναφερόμαστε στο ενδεχόμενο να μην συμβεί κάτι – δηλαδή, το συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου. Επομένως, θέλουμε και την ακόλουθη συνεπαγωγή: $A\in\mathcal{A}\Rightarrow\Omega\setminus A\in\mathcal{A}.$

Από τα παραπάνω ήδη έχουμε μία καλή περιγραφή του τι μπορεί να είναι μία συλλογή από ενδεχόμενα. Είναι μία κλάση που περιέχει σύνολα έτσι ώστε:

να περιέχει την ένωση όλων των στοιχείων της,
να είναι κλειστή ως προς τις τομές,
να είναι κλειστή ως προς τις ενώσεις,
να είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα.

Η αλήθεια είναι ότι δε μας χρειάζονται όλα τα παραπάνω για να επιτύχουμε αυτές τις τέσσερις ιδιότητες, αφού από τον γνωστό τύπο του de Morgan γνωρίζουμε ότι:

$A\cup B=\Omega\setminus((\Omega\setminus A)\cap(\Omega\setminus B)).$

Ή, σε απλούστερα ελληνικά, ότι η ένωση δύο συνόλων είναι το συμπλήρωμα της τομής των συμπληρωμάτων. Επομένως, έχοντας την κλειστότητα ως προς τις τομές και τα συμπληρώματα, έχουμε και την κλειστότητα ως προς τις ενώσεις. Έτσι, έχουμε ένα πρώτο δοκιμαστικό ορισμό του τι μπορεί να είναι ένα σύνολο ενδεχομένων:

Έστω $\Omega$ ένα σύνολο. Τότε, ένα υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του, $\mathcal{A}\subseteq P(\Omega),$ θα λέγεται άλγεβρα στο $\Omega$ αν ισχύουν τα εξής:
1. $\Omega\in\mathcal{A}$
2. $A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{A}$
3. $A\in\mathcal{A}\Rightarrow\Omega\setminus A\in\mathcal{A}$

Από το παραπάνω παίρνουμε άμεσα, όπως είπαμε, και την κλειστότητα κάθε άλγεβρας ως προς τις ενώσεις δύο στοιχείων της – δηλαδή, δύο ενδεχομένων. Επίσης, αφού $\Omega\in\mathcal{A}$ έχουμε και ότι:

$\varnothing=\Omega\setminus\Omega\in\mathcal{A},$

που είναι επίσης κάτι που θα θέλαμε – να θεωρούμε ως ενδεχόμενο το κενό ενδεχόμενο να μη συμβεί τίποτα. Επίσης, από την παρακάτω σχέση:

$A\setminus B=A\cap(\Omega\setminus B),$

έπεται άμεσα και ότι η συνολοθεωρητική διαφορά δύο ενδεχομένων είναι επίσης ένα ενδεχόμενο – πράγμα που επίσης είναι λογικό, καθώς το $A\setminus B$ εκφράζει το ενδεχόμενο να συμβεί το $A$ αλλά όχι και το $B.$

Τώρα, ας παρατηρήσουμε το εξής. Αν $A_1,A_2,A_3$ είναι τρία ενδεχόμενα, τότε θα θέλαμε και η τομή αυτών των τριών να είναι επίσης ένα ενδεχόμενο. Ισχύει όμως κάτι τέτοιο;

[Διάλειμμα για διαφημίσεις]

Ναι, ισχύει, καθώς:

$A_1\cap A_2\cap A_3=\underbrace{A_1}_{\in\mathcal{A}}\cap\underbrace{(A_2\cap A_3)}_{\in\mathcal{A}}\in\mathcal{A}.$

Δηλαδή, η τομή τριών ενδεχομένων μπορεί να γραφτεί ως η τομή ενός ενδεχομένου με την τομή άλλων δύο ενδεχομένων – που, με τη σειρά της, είναι ένα ενδεχόμενο – και άρα μπορούμε άμεσα να συμπεράνουμε ότι η τομή τριών ενδεχομένων είναι κι αυτή ένα ενδεχόμενο. Γενικότερα, με το ίδιο σκεπτικό καταλήγουμε στο εξής:

$\displaystyle A_1,A_2,\ldots,A_n\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcap_{k=1}^nA_k\in\mathcal{A}.$

Με εντελώς ανάλογο σκεπτικό μπορούμε να γυρίσουμε το κυπελάκι ανάποδα στην παραπάνω σχέση και να αποδείξουμε ότι:

$\displaystyle A_1,A_2,\ldots,A_n\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^nA_k\in\mathcal{A}.$

Φαίνεται να έχουμε αποτυπώσει με ωραίο τρόπο όλες τις επιθυμητές ιδιότητες των ενδεχομένων, καθώς με τον παραπάνω ορισμό της άλγεβρας – δηλαδή, ενός συνόλου από ενδεχόμενα – μπορούμε να κόβουμε και να ράβουμε ενδεχόμενα μεταξύ τους χωρίς φόβο μήπως καταλήξουμε σε κάτι που δεν είναι ενδεχόμενο.

Είναι όμως έτσι;

Troubles in Paradise

Ας σκεφτούμε το εξής πείραμα τύχης: Έχουμε ένα νόμισμα το οποίο φέρνει κορώνα με πιθανότητα 1/3 και γράμματα με πιθανότητα 2/3 – είναι λίγο κάλπικο, θα έλεγε κανείς. Θεωρούμε τώρα ότι έχουμε αρκετό χρόνο στη διάθεσή μας για να ρίξουμε το νόμισμά μας άπειρες φορές, χωρίς η μία να επηρεάζει την άλλη, καθώς και τα απλά ενδεχόμενα $A_k,B_k$ το νόμισμα να φέρει κορώνα και γράμματα στην ρίψη $k$ αντίστοιχα. Πώς μπορούμε να εκφράσουμε το ενδεχόμενο να έρθει σε όλες τις άρτιες ρίψεις μας κορώνα και σε όλες τις περιττές γράμματα; Χρησιμοποιώντας τα $A_k,B_k$ αυτό είναι εύκολο, καθώς μπορούμε απλά να γράψουμε το ζητούμενο ενδεχόμενο, έστω $A$ ως εξής:

$\displaystyle A=\bigcap_{k=1}^\infty(A_{2k}\cap B_{2k-1}).$

Έτσι, έχουμε εκφράζει το $A$ ως τομές γνωστών μας ενδεχομένων, άρα, από όσα είπαμε παραπάνω για τις άλγεβρες, θα πρέπει να έχουμε καλυφθεί, σωστά;

Όχι. Παραπάνω, αν προσέξατε, μιλήσαμε για πεπερασμένες τομές και ενώσεις ενδεχομένων, ενώ η παραπάνω τομή είναι (αριθμήσιμα) άπειρη και δεν υπάρχει κάποιος τρόπος να συμπεράνουμε από τον ορισμό μίας άλγεβρας ότι μπορεί να περιέχει αριθμήσιμες ενώσεις ή τομές στοιχείων της. Πράγματι, για να το δούμε αυτό, θα ορίσουμε μία απλή άλγεβρα στο σύνολο $\mathcal{N}$ των φυσικών αριθμών. Έστω $latex\mathcal{A}$ το σύνολο που περιέχει τις εξής δύο κατηγορίες υποσυνόλων των φυσικών αριθμών:

αυτά που είναι πεπερασμένα και,
αυτά που έχουν πεπερασμένο συμπλήρωμα

Αρχικά, θα δείξουμε ότι η $\mathcal{A}$ είναι μία άλγεβρα, γεγονός που είναι σχετικά απλό καθώς:

Το $\mathbb{N}$ έχει πεπερασμένο συμπλήρωμα – το κενό – επομένως περιέχεται στην άλγεβρά μας.
Αν $A\in\mathcal{A}$ τότε και το συμπλήρωμά του περιέχεται καθώς είτε θα είναι πεπερασμένο είτε θα έχει πεπερασμένο συμπλήρωμα – το ίδιο το $A.$
Αν τότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1. Αν τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι πεπερασμένο τότε και η τομή τους είναι πεπερασμένη, καθώς $A\cap B\subseteq A$ και $A\cap B\subseteq B,$ άρα τελειώσαμε.
2. Αν έχουν και τα δύο πεπερασμένο συμπλήρωμα, τότε το συμπλήρωμα της τομής τους με τη βοήθεια του μακαρίτη του de Morgan γράφεται ως εξής: $\mathbb{N}\setminus(A\cap B)=\mathbb{N}\setminus A\cup\mathbb{N}\setminus B,$ το οποίο είναι πεπερασμένο ως ένωση των πεπερασμένων $\mathbb{N}\setminus A$ και $\mathbb{N}\setminus B.$

Επομένως, πράγματι η $\mathcal{A}$ είναι μία άλγεβρα στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Ας παρατηρήσουμε τώρα ότι από τον ορισμό της έπεται ότι όλα τα μονοσύνολα είναι στοιχεία της, επομένως, ειδικότερα, στοιχεία της είναι και τα ακόλουθα:

$\{1\},\ \{3\},\ \{5\},\ldots,$

δηλαδή όλα τα μονοσύνολα των περιττών φυσικών αριθμών. Ωστόσο, η ένωσή τους:

$\displaystyle\bigcup_{k=1}^\infty\{2k-1\},$

δεν είναι ένα στοιχείο της άλγεβρας $\mathcal{A}$ καθώς, αφενός, δεν είναι πεπερασμένη και, αφετέρου, δεν έχει πεπερασμένο συμπλήρωμα. Συνεπώς, πράγματι οι άλγεβρες δεν αρκούν για να περιγράψουν αυτό που έχουμε στον νου μας σε διάφορες περιστάσεις ως ενδεχόμενο.

Και τι θα κάνουμε τώρα;

[Σκέψη, σκέψη, σκέψη]

Οι άλγεβρες, όπως τις ορίσαμε, καλύπτουν κάποιες κομβικές ιδιότητες των ενδεχομένων που δε θα θέλαμε να τις χάσουμε σε κάποιον νέο ορισμό που θα δώσουμε. Επομένως, αυτό που θα κάνουμε είναι να δώσουμε ένα ορισμό που να επεκτείνει αυτόν της άλγεβρας έτσι ώστε να καλύπτουμε και περιπτώσεις σαν την παραπάνω.

Αν εστιάσουμε στο παράδειγμα που μας ώθησε σε αυτήν εδώ τη συζήτηση, θα δούμε ότι αυτό που το διαφοροποιεί είναι το γεγονός ότι δεν μιλάμε για πεπερασμένες στο πλήθος τομές και ενώσεις αλλά για άπειρες – αριθμήσιμες, ωστόσο. Επομένως, μπορούμε αρκετά φυσιολογικά να επεκτείνουμε τον ορισμό της άλγεβρας ως εξής:

Έστω $\Omega$ ένα σύνολο. Τότε, ένα υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του, $\mathcal{A}\subseteq P(\Omega),$ θα λέγεται σ-άλγεβρα στο $\Omega$ αν ισχύουν τα εξής:
1. $\Omega\in\mathcal{A}$
2. $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{A}\Rightarrow \bigcap_{k=1}^\infty A_k\in\mathcal{A}$
3. $A\in\mathcal{A}\Rightarrow\Omega\setminus A\in\mathcal{A}$

Στην ουσία, απλώς είπαμε ότι, ε, αφού το πρόβλημά μας ήταν ότι δεν είχαμε συμπεριλάβει τις αριθμήσιμες τομές – και άρα ούτε τις αριθμήσιμες ενώσεις – ας τις συμπεριλάβουμε. Τόσο απλά – άλλωστε, μαθηματικά κάνουμε, απλά ορίζουμε τα πράγματα έτσι ώστε να μας εξυπηρετούν στο μέγιστο, τώρα που ακόμα δίνουμε ορισμούς και δεν αποδεικνύουμε πράγματα.

Έτσι, έχουμε επιτύχει η τομή αριθμήσιμα άπειρων στο πλήθος ενδεχομένων να θεωρείται επίσης ένα ενδεχόμενο στα μάτια μίας σ-άλγεβρας. Όπως φαντάζεστε, με τη βοήθεια των κανόνων de Morgan μπορούμε να αποδείξουμε το ίδιο και για αριθμήσιμα άπειρες ενώσεις, αφού:

$\displaystyle\bigcup_{k=1}^\infty A_k=\Omega\setminus\bigcap_{k=1}^\infty\Omega\setminus A_k.$

Έτσι, μία σ-άλγεβρα είναι στην ουσία μία άλγεβρα που έχει πάρει τα απαραίτητα στεροειδή έτσι ώστε να μην περιορίζεται μόνο σε πεπερασμένες τομές και ενώσεις, αλλά να μπορεί να διαχειριστεί και άπειρες τομές και ενώσεις – αριθμήσιμες, ωστόσο. Ο περιορισμός μας ως προς τη φύση του απείρου είναι εύλογος, καθώς μπορούμε σχετικά εύκολα να διαπραγματευόμαστε ακολουθίες από ενδεχόμενα – όπως κάναμε με το παραπάνω πείραμα τύχης – αλλά δεν μπορούμε με την ίδια ευκολία να φανταστούμε περιστάσεις στις οποίες μας απασχολούν άπειρα στο πλήθος ενδεχόμενα τα οποία να είναι υπεραριθμήσιμα.

Μετρώντας την τύχη μας

Ορίσαμε αρκετά πειστικά παραπάνω το πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους τα ενδεχόμενα ενός τυχαίου πειράματος – όπως π.χ. η ρίψη ενός νομίσματος. Τώρα, μένει να δούμε τι έννοια έχει η πιθανότητα. Διαισθητική, όταν μιλάμε για την πιθανότητα ενός ενδεχομένου $A$ αναφερόμαστε, εντός κάποιου πλαισίου, σε έναν αριθμό που αποτιμά το πόσο πιθανό είναι αυτό το ενδεχόμενο να συμβεί – υπό ορισμένες, ίσως, συνθήκες. Έτσι, έχουμε την πρώτη σημαντική πληροφορία για το πώς μοιάζει μία πιθανότητα: είναι μία αντιστοίχιση ανάμεσα σε ενδεχόμενα και αριθμούς. Έστω, λοιπόν, ένα σύνολο $\Omega$ και $\mathcal{A}$ μία σ-άλγεβρα σε αυτό. Αυτό που ονομάζουμε χαλαρά «πιθανότητα» – στην πορεία θα του δώσουμε πιο αυστηρό όνομα – είναι ουσιαστικά μία συνάρτηση:

$p:\mathcal{A}\to\mathbb{R}.$

Ειδικότερα, ας σκεφτούμε δύο ακραία ενδεχόμενα που θα μας βοηθήσουν κάπως να οριοθετήσουμε τις τιμές της συνάρτησης $p$ :

Το κενό ενδεχόμενο, $\varnothing,$ θα θέλαμε να θεωρείται απίθανο να συμβεί, επομένως θα θέλαμε να είχε μηδενική πιθανότητα, δηλαδή $p(\varnothing)=0.$
Με ανάλογο σκεπτικό, θα θέλαμε το ενδεχόμενο $\Omega$ – δηλαδή, το ενδεχόμενο να συμβεί ο,τιδήποτε – να θεωρείται βέβαιο, οπότε και η συνάρτηση $p$ θα θέλαμε να παίρνει μία μέγιστη τιμή σε αυτό, ας πούμε, ως σύμβαση, 1.

Τώρα, μπορούμε να κάνουμε κι άλλες λογικές σκέψεις που θα μας οδηγήσουν, όπως και με την έννοια του ενδεχομένου, στο να ανακαλύψουμε πώς μπορεί να μοιάζει μία συνάρτηση που μετράει πιθανότητα, σαν την $p.$ Ας πάρουμε δύο ενδεχόμενα $A,B$ τέτοια ώστε $A\subseteq B.$ Με απλά ελληνικά, το ενδεχόμενο $B$ συμβαίνει σίγουρα όταν συμβαίνει το ενδεχόμενο $A$ και, ενδεχομένως, και σε κάποιες άλλες περιπτώσεις. Τι σχέση αναμένουμε να έχουμε οι $p(A),p(B);$

Ίσως η πιο εύλογη απάντηση να είναι η προφανέστερη: $p(A)\leq p(B).$ Πράγματι, αφού το $B$ συμβαίνει σίγουρα τουλάχιστον όποτε και το $A,$ είναι αρκετά λογικό να το θεωρήσουμε και πιο «πιθανό». Επομένως, έχουμε αποκαλύψει και την ακόλουθη ιδιότητα μίας συνάρτησης που μετρά πιθανότητα:

$A\subseteq B\Rightarrow p(A)\leq p(B).$

Αυτό είναι ένα είδος εύλογης μονοτονίας που θέλουμε να έχει η συνάρτηση $p,$ καθώς αντιστοιχίζει «μεγαλύτερα» ενδεχόμενα σε μεγαλύτερες πιθανότητες.

Με βάση τα παραπάνω, έχουμε πλέον περιορίσει αρκετά τις τιμές της $p$ έτσι ώστε να μπορούμε να γράψουμε:

$p:\mathcal{A}\to[0,1],$

αφού για κάθε ενδεχόμενο $A$ ισχύει ότι $\varnothing\subseteq A\subseteq\Omega.$

Ας πάρουμε τώρα δύο ενδεχόμενα $A,B$ γενικά, χωρίς κάποια σχέση μεταξύ τους. Τι μπορούμε να πούμε για την πιθανότητα $p(A\cup B);$ Σίγουρα, θα θέλαμε, μιας και η ένωση δύο συνόλων έχει τρόπον τινά προσθετικό χαρακτήρα, να πούμε ότι $p(A\cup B)=p(A)+p(B),$ αλλά αυτό δεν ισχύει. Για παράδειγμα, σκεφτείτε το απλό τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού, οπότε $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ και έστω $A=\{1,2\}$ και $B=\{2,3\}.$ Αφενός έχουμε $p(A)=p(B)=2/6$ αλλά από την άλλη, $A\cup B=\{1,2,3\}$ και άρα $p(A\cup B)=3/6<4/6$ – ή, τουλάχιστον, τόσο μας λέει η εμπειρία μας σε κάθε περίπτωση. Επομένως, δεν είναι τόσο εύκολο να δούμε τι συμβαίνει με την ένωση δύο ενδεχομένων.

Αλλά δε θα το βάλουμε κάτω. Μπορεί να μη συμβαίνει – για πολλούς καλούς λόγους – αυτό που θα θέλαμε με την πιθανότητα της ένωσης δύο ενδεχομένων, ωστόσο μπορούμε να αναρωτηθούμε το εξής:

Για ποια ενδεχόμενα $A,B$ ισχύει ότι $p(A\cup B)=p(A)+p(B);$

Αυτή είναι μία καλή διασκευή της αρχικής μας σκέψης. Είδαμε ότι δε δουλεύει, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις που να δουλεύει; Αν το καλοσκεφτούμε, αυτό που μας τα χάλασε στην παραπάνω περίπτωση ήταν το ότι τα δύο ενδεχόμενα που πήραμε μοιράζονταν ένα κομμάτι τους. Τι γίνεται όμως αν τα ενδεχόμενα $A,B$ είναι ξένα, δηλαδή αν $A\cap B=\varnothing;$ Σε αυτήν την περίπτωση όντως έχει νόημα να περιμένουμε να ισχύει ότι $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$ καθώς τα δύο ενδεχόμενα δε σχετίζονται με κάποιον τρόπο μεταξύ τους και έτσι, αν θέλουμε να συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά είναι σαν να ζητάμε να συμβεί ακριβώς ένα από αυτά – μιας και δε γίνεται να συμβούν και τα δύο μαζί.

Έτσι, εντοπίσαμε μία κατηγορία ενδεχομένων όπου ισχύει η σχέση που θέλαμε. Μάλιστα, μπορούμε, όπως κάναμε από τον ορισμό της άλγεβρας σε αυτόν της σ-άλγεβρας, να γενικεύσουμε για άπειρα (αριθμήσιμα στο πλήος) ξένα ενδεχόμενα. Για την ακρίβεια, είναι αρκετά φυσιολογικό να περιμένουμε από την $p$ να ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση:

$\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum_{k=1}^\infty p(A_k),$

για μία ακολουθία ενδεχομένων, $(A_1,A_2,\ldots)$ τα οποία είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους – δηλαδή κανένα τους δε μοιράζεται κοινά στοιχεία με κανένα άλλο. Προσέξτε τώρα πώς αυτή η γενίκευση είναι πολύ ισχυρή. Στο αριστερό μέλος της ισότητας έχουμε μία πιθανότητα ενός ενδεχομένου, δηλαδή έναν αριθμό ανάμεσα στο 0 και το 1, ενώ στο δεξί μία σειρά μη αρνητικών όρων – δηλαδή ένα άπειρο άθροισμα μη αρνητικών αριθμών. Δεδομένου ότι τα δύο μέλη είναι ίσα, συμπεραίνουμε ότι για κάθε ακολουθία ξένων ανά δύο ενδεχομένων πρέπει η πιθανότητα να συμβεί κάποιο από αυτά – μεμονωμένα – να είναι, τελικά, πολύ μικρή. Πράγματι, αν για παράδειγμα $p(A_1)=0.53$ τότε, δεδομένου ότι:

$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty p(A_k)\leq1,$

έπεται το εξής:

$\displaystyle\sum_{k=2}^\infty p(A_k)\leq1-0.53=0.47.$

Δηλαδή, όλα τα άλλα ενδεχόμενά μας έχουν πιθανότητα να συμβούν το πολύ 0.47 – το καθένα, σαφώς, αναμένουμε να έχει μικρότερη. Επομένως, σε κάθε περίπτωση, δεν υπάρχει και πολύς χώρος για πολλά και «μεγάλα» ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα – γεγονός που επαληθεύει, κατά κάποιον τρόπο, και την πρόβλεψή μας ότι ναι μεν χρειάζεται να μπορούμε να μιλάμε για άπειρα στο πλήθος ενδεχόμενα, αλλά όχι για περισσότερα από αριθμήσιμα.

Ας δούμε τι έχουμε κάνει ως τώρα: Για κάθε συνάρτηση που μετράει πιθανότητα πρέπει να ισχύουν τα εξής:

$0\leq p(A)\leq1,$
$p(\varnothing)=0,\ p(\Omega)=1,$
$A\subseteq B\Rightarrow p(A)\leq p(B),$
$\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum_{k=1}^\infty p(A_k).$

Η πρώτη ιδιότητα μπορεί να προκύψει από τις υπόλοιπες – τη δεύτερη και την τρίτη, συγκεκριμένα – επομένως οι τρεις τελευταίες αρκούν για να περιγράψουμε αυτό που θέλουμε. Επίσης, η τρίτη ιδιότητα, της μονοτονίας, μπορεί επίσης να προκύψει από την τελευταία – η οποία είναι αρκετά ισχυρή – αφού, αν $A\subseteq B$ είναι δύο ενδεχόμενα τότε έχουμε:

$p(B)=p(B\cup(B\setminus A))=p(B)+p(B\setminus A)\geq p(A),$

όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι το ενδεχόμενο $B$ μπορεί να περιγραφτεί σε αυτήν την περίπτωση ως το σύνολο των στοιχείων του $A$ μαζί με κάτι ακόμα που δεν ανήκει στο $A$ – σαν ξένη ένωση, δηλαδή, που περιέχει και το $A.$

Επομένως, με τη δεύτερη και την τέταρτη ιδιότητα μπορούμε να περιγράψουμε επαρκώς το τι είναι μία συνάρτηση που αποτιμά την πιθανότητα ενός ενδεχομένου. Για την ακρίβεια, έχουμε το εξής:

Έστω $\Omega$ ένα σύνολο και $\mathcal{A}$ μία σ-άλγεβρα σε αυτό. Μία συνάρτηση $p:\mathcal{A}\to[0,1]$ θα λέγεται μέτρο πιθανότητας στο $\Omega$ αν ισχύουν τα εξής:
1. $p(\varnothing)=0,\ p(\Omega)=1,$
2. $\displaystyle p\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum_{k=1}^\infty p(A_k).$

Έτσι, η έννοια του μέτρου πιθανότητα καλύπτει τις βασικές – ελάχιστες, θα έλεγε κανείς – απαιτήσεις που έχουμε παρατηρήσει ότι χρειαζόμαστε για να θεωρείται κάτι ικανό να μετρήσει την πιθανότητα κάποιων ενδεχομένων.

Και τώρα τι;

Ωραία, καταφέραμε να περιγράψουμε αφηρημένα πώς μπορεί να μοιάζει μία συλλογή από ενδεχόμενα, αλλά και πώς μπορεί να μοιάζει κάτι που μετρά την τύχη και την ατυχία μας. Εδώ όμως, εγείρονται διάφορα ερωτήματα, όπως, για παράδειγμα, τα ακόλουθα:

Είπαμε ότι $p(\varnothing)=0,$ γεγονός που φυσιολογικά μπορούμε να ερμηνεύσουμε ως ότι το να μη συμβεί κάποιο από τα ενδεχόμενά μας είναι απίθανο. Ωραία, αλλά υπάρχουν άλλα ενδεχόμενα, μη κενά, για τα οποία να ισχύει ότι $p(A)=0;$ Κι αν ναι, πώς μπορεί να μοιάζουν τέτοια ενδεχόμενα και πώς ερμηνεύουμε την παραπάνω σχέση; Διότι, αν ένα ενδεχόμενο είναι μη κενό, πώς γίνεται να μην είναι δυνατό να συμβεί; – αν, φυσικά, το αδύνατο είναι συνώνυμο του απίθανου.
Είδαμε ότι αν έχουμε ένα σύνολο $\Omega$ μπορούμε να μιλήσουμε για σ-άλγεβρες σε αυτό το σύνολο και ότι αυτές ερμηνευόνται αρκετά φυσιολογικά ως ενδεχόμενα που κατοικούν στο $\Omega.$ Όλα καλά ως εδώ, αλλά ας σκεφτούμε το εξής: Παίρνουμε ένα ενδεχόμενο $A\in\mathcal{A}$ και παίρνουμε κι ένα άλλο σύνολο $B\subseteq\Omega$ έτσι ώστε $B\not\in\mathcal{A}.$ Πώς μπορεί να μοιάζει το $B;$ Αφού το $B$ δεν ανοίκει στα ενδεχόμενα, όπως τα περιγράφει η $\mathcal{A},$ τι είναι το $B;$ Γενικά, πώς μοιάζουν τα «μη ενδεχόμενα»; Μπορούμε να μιλήσουμε άραγε για την πιθανότητα που έχει ένα «μη ενδεχόμενο»;

Απαντήσεις σε αυτά και κάποια ακόμα ερωτήματα θα δώσουμε την ερχόμενη εβδομάδα! Μέχρι τότε, καλή διασκέδαση!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Το πάρτι σε βάρκα της Mary Cassatt.

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

5 comments

Ο/Η Αδύνατο vs Απίθανο – Μέρος Β’ – aftermaths.gr λέει:

10 Οκτωβρίου 2021 στο 22:12

[…] λέμε «απίθανο» και αυτό που λέμε «αδύνατο» – δείτε εδώ για περισσότερα. Η συζήτηση αυτή αποκάλυψε την ανάγκη […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Αδύνατο vs Απίθανο – Μέρος Γ’ – aftermaths.gr λέει:

17 Οκτωβρίου 2021 στο 22:03

[…] μονότονο ως προς τη σχέση του εγκλεισμού – δείτε εδώ για περισσότερα – έπεται άμεσα ότι ισχύει το […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Αδύνατο vs Απίθανο – Μέρος Δ’ – aftermaths.gr λέει:

31 Οκτωβρίου 2021 στο 16:36

[…] απίθανου συμπίπτει με αυτό που λέμε αδύνατο – δείτε εδώ, εδώ κι εδώ, αναλυτικότερα. Με λίγα λόγια, καταλήξαμε […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano; – aftermaths.gr λέει:

19 Δεκεμβρίου 2021 στο 21:35

[…] πρώτη απίθανη – όχι όμως κι αδύνατη – περίπτωση δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε. Στη […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Πόσο Συνεχής είναι μια Παράγωγος; – aftermaths.gr λέει:

27 Μαρτίου 2023 στο 09:13

[…] για το τι είναι ένα μέτρο σε διάφορες περιστάσεις (εδώ, εδώ, εδώ κι εδώ). Αλλά εδώ θα μας απασχολήσει ένα […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση