Η αλήθεια είναι ότι συνήθως τα πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα είναι αυτά που έχουν την πιο απλή διατύπωση. Ένα από αυτά είναι και η περίφημη εικασία του Collatz – Collatz Conjecture – η οποία έχει μία αρκετά απλή και «παιχνιδιάρικη» θα έλεγε κανείς διατύπωση. Για την ακρίβεια, φανταστείτε το εξής παιχνίδι με αριθμούς:
Πάρτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Αν αυτός είναι άρτιος, διαιρέστε τον με το 2 ενώ αν αυτός είναι περιττός τότε πολλαπλασιάστε τον επί 3 και προσθέστε στο γινόμενο 1. Επαναλάβετε με τον αριθμό που βρήκατε και συνεχίστε αέναα.
Εντάξει, δε φαίνεται και κανένα ενδιαφέρον παιχνίδι. Αλλά ας δοκιμάσουμε να παίξουμε με κάποιους αριθμούς για να δούμε τι αποτελέσματα θα πάρουμε. Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται οι ακολουθίες που προκύπτουν ξεκινώντας από διάφορους αριθμούς:
| 1ος όρος | 2ος όρος | 3ος όρος | 4ος όρος | 5ος όρος | 6ος όρος | 7ος όρος | 8ος όρος | 9ος όρος | 10ος όρος | 11ος όρος | 12ος όρος | 13ος όρος |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 |
| 3 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 |
| 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 |
| 6 | 3 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 |
| 7 | 22 | 11 | 34 | 17 | 52 | 26 | 13 | 40 | 20 | 10 | 5 | 16 |
| 8 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 |
| 9 | 28 | 14 | 7 | 22 | 11 | 34 | 17 | 52 | 26 | 13 | 40 | 20 |
| 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 |
Ένας Γερμανός μαθηματικός, ο Lothar Collatz, λίγο πριν την έναρξη του Δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου – το 1937, για την ακρίβεια – διατύπωσε την εξής απλή εικασία:
Αν ξεκινήσει κανείς με οποιονδήποτε αριθμό και επαναλάβει τα βήματα του παραπάνω παιχνιδιού, κάποια στιγμή θα καταλήξει στο 1.
Είναι σαφές και από τον παραπάνω πίνακα και από τη δομή του παιχνιδιού ότι άπαξ και φτάσει κανείς στο 1 μετά δεν έχει νόημα να συνεχίσει διότι θα επαναλαμβάνονται συνέχεια οι αριθμοί 4, 2, 1. Σαφές είναι επίσης ότι για τους πρώτους δέκα θετικούς ακεραίους αριθμούς ισχύει – όπως φαίνεται και στον παραπάνω πίνακα. Ωστόσο, πώς μπορούμε να αποδείξουμε την εικασία ή να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα;
Καλημέρα!
Η κεντρική εικόνα είναι το πορτραίτο του Ambroise Vollard του Pierre-Auguste Renoir.
Σαφώς, αν μετά από 84 χρόνια η μαθηματική κοινότητα δεν έχει αποφανθεί για το τι συμβαίνει, δεν προσδοκά το aftermaths να δώσει τη λύση. Ωστόσο, οι τομείς των μαθηματικών που δείχνουν με μία πρώτη ματιά σχετικοί με την παραπάνω εικασία είναι ιδιαίτερα ενδιαφέροντες και η παραπάνω εικασία είναι μία καλή και απλή αφορμή για να ασχοληθούμε μαζί τους. Σε αυτή τη σειρά, λοιπόν, με αφορμή την εικασία του Collatz, θα εξερευνάμε σε σχεδόν καθημερινό επίπεδο μικρά ψήγματα μαθηματικών και απλές – ή και όχι τόσο απλές – σκέψεις και ιδέες πάνω σε ένα ανοικτό πρόβλημα.
Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;
Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:
aftermaths.gr 
[…] πρώτο μέρος της σειράς είδαμε τη διατύπωση μίας αρκετά ενδιαφέρουσας […]
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
[…] – την αρχική διατύπωση της εικασίας Collatz – δείτε εδώ για περισσότερα – καθώς και μία κομψή αναδιατύπωσή […]
Μου αρέσει!Μου αρέσει!