Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (3α)

Έχουμε δει στο παρελθόν δύο τρόπους με τους οποίους μπορεί να διατυπώσει κανείς το αξίωμα της πληρότητας καθώς και δύο κατασκευές των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς «εμπνευσμένες» από αυτές τις διατυπώσεις. Για την ακρίβεια, έχουμε δει αφενός μία διατύπωση ιδιαίτερα λιτή ως προς τα εκφραστικά μέσα και τις έννοιες που χρησιμοποιεί, μέσω της οποίας μπορεί κανείς να κατασκευάσει τους πραγματικούς αριθμούς ως τομές Dedekind ρητών αριθμών – για περισσότερα δείτε εδώ. Αφετέρου, έχουμε δει μία πιο αναλυτική διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας που χρησιμοποιεί βασικές ακολουθίες πραγματικών αριθμών και μας οδηγεί φυσιολογικά σε μία κατασκευή των πραγματικών αριθμών μέσα από βασικές ακολουθίες ρητών αριθμών – για περισσότερα, δείτε εδώ και εδώ.

Καιρός, λοιπόν, να δούμε και μία τρίτη διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας που εστιάζει σε κάπως διαφορετικά χαρακτηριστικά της ευθείας των πραγματικών αριθμών για να μας πει τελικά το ίδιο πράγμα: ότι δεν έχει τρύπες – για μία εναλλακτική ματιά στους πραγματικούς αριθμούς, δείτε εδώ. Η αλήθεια είναι ότι η εν λόγω διατύπωση είναι αρκετά πιο «πλούσια» από τις προηγούμενες δύο που έχουμε συναντήσει σε ό,τι έχει να κάνει με τις έννοιες που χρειάζεται κανείς για να τη διατυπώσει. Η δε κατασκευή των πραγματικών αριθμών που εμπνέεται από αυτήν είναι επίσης κάπως πιο περίπλοκη και χρειάζεται και κάποια νέα εργαλεία. Ωστόσο, πολύ χρονοτριβούμε, ας περάσουμε στο διά ταύτα.

Λίγος Cantor δεν έβλαψε ποτέ…

Τον έχουμε ξαναδεί τον κύριο Cantor με ένα πολύ διάσημο διαγώνιο επιχείρημά του για την υπεραριθμησιμότητα των πραγματικών αριθμών – δείτε εδώ για περισσότερα. Ωστόσο εδώ θα δούμε μία άλλη σημαντική συνεισφορά του στα μαθηματικά: έναν χαρακτηρισμό της ιδιότητας της πληρότητας της ευθείας των πραγματικών αριθμών. Ας δούμε απευθείας το θεώρημα που θα μας απασχολήσει που είναι γνωστό και ως θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων:

Έστω μία ακολουθία κλειστών διαστημάτων $I_n=[a_n,b_n]$ με $a_n<b_n$ για την οποία ισχύουν τα εξής:
1. $I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\ldots$
2. $b_n-a_n\to0$
Τότε η τομή των παραπάνω διαστημάτων, $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n$ είναι μονοσύνολο.

Πρακτικά, τι μας λέει το παραπάνω θεώρημα; Ας σκεφτούμε μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστημάτων πραγματικών αριθμών με διάμετρο που φθίνει προς το μηδέν, όπως αυτή που φαίνεται παρακάτω:

Μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστημάτων με διάμετρο που φθίνει προς το μηδέν.

Το παραπάνω θεώρημα μας λέει περίπου αυτό που υποπτευόμαστε και από το παραπάνω σχήμα: ότι σταδιακά τα διαστήματα «εκφυλίζονται» σε ένα μόνο σημείο. Αυτό είναι η αλήθεια ότι φαίνεται εύλογο κοιτάζοντας το παραπάνω σχήμα καθώς τα διαστήματα «στενεύουν» απεριόριστα προς το μηδέν οπότε και είναι αναμενόμενο «τελικά» να καταλήξουμε σε ένα διάστημα της μορφής $[c,c]=\{c\},$ δηλαδή σε ένα μονοσύνολο.

Και πού είναι η σχέση με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών, θα αναρωτηθεί κανείς – εύλογα, εδώ που τα λέμε. Μπορούμε να αναδιατυπώσουμε το παραπάνω θεώρημα ως εξής – λίγο πιο αυστηρά, χρησιμοποιώντας ρητά και κάποιους ποσοδείκτες:

Έστω μία ακολουθία κλειστών διαστημάτων $I_n=[a_n,b_n]$ με $a_n<b_n$ για την οποία ισχύουν τα εξής:
1. $I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\ldots$
2. $b_n-a_n\to0$
Τότε υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός $c\in\mathbb{R}$ έτσι ώστε $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n=\{c\},$

Το bold τμήμα του παραπάνω κειμένου είναι και το κλειδί της απάντησης στο παραπάνω ερώτημα. Το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων δε μας εξασφαλίζει απλώς ότι η τομή μίας φθίνουσας ακολουθίας κλειστών διαστημάτων είναι «μικρή» αλλά ότι υπάρχει ένας αριθμός που βρίσκεται στην τομή όλων αυτών των κλειστών διαστημάτων. Αυτή ακριβώς η ύπαρξη που μας εξασφαλίζεται από το παραπάνω θεώρημα είναι που, όπως θα δούμε, το καθιστά και ισοδύναμο με τον ισχυρισμό ότι η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν έχει «τρύπες».

Για να φωτίσουμε λίγο παραπάνω αυτήν την ισοδυναμία – πριν, προφανώς, την αποδείξουμε – ας σκεφτούμε λίγο το ανάλογο του θεωρήματος στους ρητούς αριθμούς. Αρχικά, θα ονομάζουμε διάστημα ρητών αριθμών κάθε σύνολο $J_{a,b}$ της μορφής:

$J_{a,b}:=\{x\in\mathbb{Q}:a<x<b\},$

για κάποιους ρητούς αριθμούς $a,b.$ Θα υιοθετήσουμε κι εδώ τους συνήθεις συμβολισμούς για ανοικτά και κλειστά – και ημιάνοικτα κ.λπ. – διαστήματα, χρησιμοποιώντας όμως ως δείκτη το σύμβολο $\mathbb{Q}$ όποτε αυτό είναι απαραίτητο. Έτσι, με $(2,5)$ θα αναφερόμαστε στο διάστημα των πραγματικών αριθμών ανάμεσα στο 2 και το 5 ενώ με $(2,5)_{\mathbb{Q}}$ θα αναφερόμαστε στο διάστημα ρητών αριθμών από το 2 μέχρι το 5. Ας πάρουμε τώρα έναν γνωστό και αγαπημένο άρρητο, την τετραγωνική ρίζα του 2 μαζί με το δεκαδικό της ανάπτυγμα

$\sqrt{2}=1.4142135623730950488016887242097\ldots$

Θεωρούμε τώρα τις εξής δύο ακολουθίες ρητών αριθμών

την ακολουθία $a_n$ που ο $n-$ οστός της όρος αποτελείται από τα πρώτα $n$ ψηφία του δεκαδικού αναπτύγματος του $\sqrt{2}$ και,
την ακολουθία $b_n$ που ορίζεται ως $b_n=a_n+10^{-n}.$

Για παράδειγμα, στον παρακάτω πίνακα βλέπουμε κάποιους όρους των ακολουθιών $a_n,b_n$ για διάφορες τιμές του $n:$

n	a_n	b_n
1	1.4	1.5
2	1.41	1.42
3	1.414	1.415
4	1.4142	1.4143
5	1.41421	1.41422
6	1.414213	1.414214

Οι πρώτοι έξι όροι των ακολουθιών μας.

Μπακάλικα, η $b_n$ είναι η $a_n$ που της έχουμε αυξήσει το τελευταίο ψηφίο κατά μία μονάδα – με ιδιαίτερη προσοχή όταν αυτό είναι 9.

Είναι σαφές από τον ορισμό των δύο ακολουθιών ότι ισχύουν τα εξής:

$a_n<b_n,$
$a_n\to\sqrt{2}$ και $b_n\to\sqrt{2}$ και,
$b_n-a_n\to0.$

Θεωρούμε τώρα τα ρητά διαστήματα $I_n=[a_n,b_n]_{\mathbb{Q}}.$ Αν ίσχυε στους ρητούς το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor τότε θα έπρεπε, δεδομένου ότι ικανοποιούνται και οι δύο υποθέσεις του, να υπάρχει κάποιος (μοναδικός) ρητός αριθμός $c$ τέτοιος ώστε:

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty I_n=\{c\}.$

Από την πραγματική εκδοχή του παραπάνω θεωρήματος – την οποία θα αποδείξουμε σύντομα – γνωρίζουμε ότι υπάρχει κάποιος μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίον ισχύει το παραπάνω. Για την ακρίβεια, από τον ορισμό των δύο ακολουθιών μπορούμε εύκολα να δούμε ότι:

$a_n<\sqrt{2}<b_n\Rightarrow \sqrt{2}\in I_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}.$

Αυτό όμως σημαίνει ότι $\sqrt{2}\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n,$ οπότε, λόγω της μοναδικότητάς του πρέπει – από το συμπέρασμα της ρητής εκδοχής του θεωρήματος – ο $\sqrt{2}$ να είναι ρητός, άτοπο! Επομένως, το θεώρημα του Cantor περί εγκιβωτισμένων διαστημάτων δεν ισχύει, εν γένει, στους ρητούς.

Σαφώς και υπάρχουν ακολουθίες ρητών διαστημάτων όπως τα θέλει ο Cantor που έχουν μη κενή τομή η οποία να περιέχει μόνο έναν ρητό αριθμό, ωστόσο υπάρχουν και αρκετές τέτοιες ακολουθίες – πολύ περισσότερες, για την ακρίβεια – που να έχουν κενή τομή. Αυτές μπορούμε να τις σκεφτούμε ως τις ακολουθίες εκείνες που η τομή τους αντιστοιχεί σε κάποια «τρύπα» της ευθείας των ρητών αριθμών που θα έρθει μελλοντικά να καταλάβει κάποιος άρρητος – αυτή την ιδέα κρατήστε τη καθώς χτίζοντας πάνω σε αυτήν μπορούμε να παρουσιάσουμε μία αρκετά ενδιαφέρουσα κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς.

Συνεπώς, πράγματι το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor περιγράφει μία πραγματικότητα που δεν έχει νόημα στους ρητούς αλλά, όπως θα δούμε, χαρακτηρίζει απόλυτα τους πραγματικούς αριθμούς – σε ό,τι έχει να κάνει με την πληρότητά τους, που είναι κι αυτό που τους διαφοροποιεί ουσιαστικά από τους ρητούς.

Η απόδειξη του θεωρήματος

Σε πρώτη φάση, για να αποδείξουμε ότι το παραπάνω θεώρημα είναι ισοδύναμο – δεδομένων των άλλων αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών – με το αξίωμα της πληρότητας, πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι ένα… θεώρημα. Δηλαδή, πρέπει να αποδείξουμε ότι ισχύει δεδομένων των συνηθισμένων αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών – αν δεν τα θυμάστε, ρίξτε μια ματιά εδώ.

Ξεκινάμε, λοιπόν, την απόδειξη του θεωρήματος. Ας ξαναδούμε πρώτα το θεώρημα, για να έχουμε κατά νου τι πρέπει να αποδείξουμε:

Έστω, λοιπόν, μία ακολουθία κλειστών διαστημάτων πραγματικών αριθμών, $(I_n)_n$ για την οποία ισχύουν τα εξής:

$I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\ldots$ και,
$b_n-a_n\to0.$

Πρέπει να αποδείξουμε ότι η τομή αυτών των διαστημάτων είναι ένα μονοσύνολο. Με άλλα λόγια, πρέπει να δείξουμε τα εξής δύο πράγματα:

ότι η τομή των διαστημάτων αυτών είναι μη κενή και,
ότι η τομή των διαστημάτων αυτών περιέχει το πολύ ένα στοιχείο.

Θα ξεκινήσουμε πρώτα με την ύπαρξη ενός στοιχείου που να ανήκει στην τομή των διαστημάτων – δηλαδή σε καθένα από αυτά. Θεωρούμε το εξής σύνολο:

$A=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}.$

Εντάξει, δεν είναι και κάτι το ιδιαίτερο, απλώς μαζέψαμε όλους τους όρους της $a_n$ σε ένα σύνολο. Ωστόσο, ας παρατηρήσουμε τα εξής:

Για κάθε ένα από τα $a_n$ ισχύει ότι $a_n<b_n.$
Η $(a_n)_n$ είναι αύξουσα και η $(b_n)_n$ είναι φθίνουσα – άμεσο, αφού $I_{n+1}\subseteq I_n.$

Από τα παραπάνω μπορεί κανείς εύκολα να παρατηρήσει ότι ισχύει το εξής:

$a_1\leq a_2\leq a_3\leq\ldots\leq b_3\leq b_2\leq b_1.$

Ειδικότερα, από το παραπάνω παίρνουμε ότι η ακολουθία $(a_n)_n$ είναι φραγμένη, αφού για κάθε $n\in\mathbb{N}$ έχουμε $a_n\leq b_1.$ Συνεπώς, το σύνολο $A$ είναι μη κενό και άνω φραγμένο και άρα, από το αξίωμα της πληρότητας, έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, έστω $a:=\sup A.$ Επειδή κάθε ένα από τα $b_n$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ έχουμε άμεσα ότι $a\leq b_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ – αφού το $a$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του.

Θεωρούμε τώρα το σύνολο:

$B=\{b_n:n\in\mathbb{N}\}.$

Ανάλογα, έχουμε ότι το σύνολο $B$ είναι κάτω φραγμένο, αφού έχει ως κάτω φράγμα το $a_1,$ συνεπώς υπάρχει – από μία δυϊκή διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας – το μέγιστο κάτω φράγμα του, έστω $b:=\inf B.$ Επίσης, ανάλογα με τα παραπάνω έχουμε ότι για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει ότι $a_n\leq b$ αφού κάθε $a_n$ είναι ένα κάτω φράγμα του $B$ και το $b$ είναι το μέγιστο κάτω φράγμα του.

Τώρα είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε και κάτι ακόμα. Αφού για κάθε $n\in\mathbb{N}$ έχουμε $a\leq b_n$ τότε ο $a$ είναι ένα κάτω φράγμα του συνόλου $B,$ επομένως είναι μικρότερος (ή ίσος) από το μέγιστο κάτω φράγμα του $B.$ Με σύμβολα, έχουμε $a\leq b.$ Συνεπώς, μπορούμε να «εμπλουτίσουμε» την παραπάνω μεγάλη ανισότητα που είχαμε ως εξής:

$a_1\leq a_2\leq a_3\leq\ldots\leq a\leq b\leq\ldots\leq b_3\leq b_2\leq b_1.$

Ειδικότερα, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ έχουμε ότι:

$a_n\leq a\leq b\leq b_n.$

Ανακατεύοντας λίγο την παραπάνω ανισότητα παίρνουμε την εξής:

$0\leq b-a\leq b_n-a_n.$

Τώρα, αφού $b_n-a_n\to0$ έχουμε άμεσα από την παραπάνω ανισότητα και ότι:

$0\leq b-a\leq0\Rightarrow b-a=0\Rightarrow a=b.$

Για ευκολία, θέτουμε $c=a=b$ και παρατηρούμε ότι για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει ότι:

$a_n\leq c\leq b_n\Leftrightarrow c\in I_n.$

Ωστόσο, το παραπάνω σημαίνει ότι το $c$ ανήκει στην τομή των διαστημάτων, δηλαδή ότι:

$\displaystyle c\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n.$

Έχουμε δείξει, δηλαδή, την πολυπόθητη ύπαρξη ενός στοιχείου που ανήκει στην τομή όλων αυτών των διαστημάτων. Πριν περάσουμε στην απόδειξη και της μοναδικότητας ας παρατηρήσουμε ότι στα παραπάνω δεν αξιοποιήσαμε ουσιαστικά την μονοτονία της ακολουθίας των διαστημάτων. Αν ξαναδιαβάσετε την απόδειξη θα δείτε ότι αυτό που μας έδωσε στην ουσία όλα τα αποτελέσματα ήταν η το γεγονός ότι:

$a_n\leq a\leq b\leq b_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}.$

Αυτό είναι μία συνθήκη που είναι, εν γένει, ασθενέστερη από την μονοτονία καθώς δε χρειάζεται όλα τα $a_n$ και τα $b_n$ να είναι τακτοποιημένα, όπως παραπάνω, αλλά αρκεί όλα τους να είναι χωρισμένα σε «πρόβατα» και «κατσίκια» – ή, πιο μαθηματικά, να βρίσκονται όλα τα $a_n$ αριστερότερα όλων των $b_n.$ Αυστηρά, αυτό που θέλουμε είναι για κάθε δείκτες $n,k$ να ισχύει ότι:

$a_n\leq b_k.$

Σε όρους διαστημάτων, αν παίξετε λίγο με την παραπάνω συνθήκη θα δείτε ότι αυτή είναι ισοδύναμη με το να έχει κάθε πεπερασμένη συλλογή από τα διαστήματα $I_n$ μη κενή τομή. Με άλλα λόγια, θέλουμε να ισχύει για κάθε επιλογή δεικτών $n_1,n_2,\ldots,n_k$ το εξής:

$\displaystyle\bigcap_{i=1}^kI_{n_i}\neq\varnothing.$

Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως η ιδιότητα της πεπερασμένης τομής και είναι ιδιαίτερα διάσημη στους κύκλους της μαθηματικής ανάλυσης – κρατήστε τη, στο μέλλον θα μας φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη.

Πίσω τώρα στην απόδειξή μας, έχουμε να αποδείξουμε ότι η τομή όλων των διαστημάτων πέρα από το $c$ δεν περιέχει άλλο στοιχείο. Έστω, γενικά, $x$ κάποιο στοιχείο της τομής. Τότε ισχύει για κάθε $n\in\mathbb{N}$ το εξής:

$x\in I_n\Leftrightarrow a_n\leq x\leq b_n.$

Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι το $x$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ οπότε και θα ισχύει $a\leq x.$ Από την άλλη, είναι και ένα κάτω φράγμα του $B$ οπότε θα ισχύει $x\leq b.$ Ωστόσο, όπως είπαμε και παραπάνω, $a=b=c,$ άρα έχουμε:

$c\leq x\leq c\Rightarrow x=c.$

Δηλαδή το μοναδικό στοιχείο της τομής είναι το $c,$ οπότε και έχουμε:

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty I_n=\{c\}.$

Συνεπώς, έχουμε αποδείξει το ζητούμενο!

Παρατηρήστε πώς στην παραπάνω απόδειξη το αξίωμα της πληρότητας είναι καταλυτικής σημασίας, καθώς μας δίνει την ύπαρξη του $c$ – μέσω της ύπαρξης των $a,b$ όπως είδαμε παραπάνω. Ο τρόπος με τον οποίο «δρα» το αξίωμα της πληρότητας στην παραπάνω απόδειξη – δίνοντάς μας τον αριθμό εκείνο που χρειαζόμαστε τη στιγμή που τον χρειαζόμαστε – είναι χαρακτηριστικό πολλών αποδείξεων για τους πραγματικούς αριθμούς που βρίσκονται σημασιολογικά «κοντά» με την έννοια της πληρότητας της ευθείας των πραγματικών αριθμών.

Το αντίστροφο…

Πάμε τώρα να δούμε το αντίστροφο όσων είδαμε παραπάνω. Θα πάρουμε δηλαδή τα συνήθη αλγεβρικά αξιώματα των πραγματικών αριθμών μαζί με τα αξιώματα της διάταξης και, επιπλέον, θα δεχθούμε το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor ως αξίωμα και με βάση αυτό θα αποδείξουμε το αξίωμα της πληρότητας. Με αυτόν τον τρόπο, σε συνδυασμό με τα παραπάνω θα έχουμε αποδείξει ότι το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor είναι λογικά ισοδύναμο με το αξίωμα της πληρότητας δεδομένων των υπολοίπων θεωρημάτων των πραγματικών αριθμών. Το τελευταίο σημείο της προηγούμενης πρότασης είναι ιδιαίτερα σημαντικό. Για να δείξουμε ότι δύο μαθηματικές προτάσεις είναι ισοδύναμες πρέπει να αποφασίσουμε πρώτα με ποιες υποθέσεις θα αποδείξουμε ότι είναι ισοδύναμες. Με άλλα λόγια, πρέπει πρώτα να συμφωνήσουμε, όπως και στην περίπτωσή μας, ποια γνώση θεωρούμε ως δεδομένη και υπό το φως της οποίας μπορούμε δεδομένης της μίας πρότασης να αποδείξουμε την άλλη και αντίστροφα.

Περνάμε τώρα στην απόδειξη. Υποθέτουμε ότι ισχύει – μαζί με τα άλλα αξιώματα των πραγματικών αριθμών – και το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων, δηλαδή, για να μην ξεχνιόμαστε, το εξής:

Ωραία, τώρα με όλα αυτά στα χέρια μας πρέπει να αποδείξουμε το αξίωμα της πληρότητας. Δηλαδή, πρέπει να αποδείξουμε μία από τις δύο ισοδύναμες μορφές του που έχουμε δει ως τώρα:

Είτε ότι κάθε μη κενό και άνω φραγένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα,
είτε ότι κάθε βασική ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι συγκλίνουσα.

Από τις δύο αυτές μορφές θα προτιμήσουμε την πρώτη, γιατί η απόδειξη που θα πάρουμε θα είναι αρκετά κομψή.

Θεωρούμε, λοιπόν, ένα μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, έστω $A.$ Αφού το $A$ είναι μη κενό, υπάρχει ένα $a\in A$ ενώ αφού είναι άνω φραγμένο υπάρχει ένα $b\not\in A$ έτσι ώστε $x\leq b$ για κάθε $x\in A.$ Ωραία ως εδώ, όλα εύκολα. Τώρα θα προχωρήσουμε την απόδειξή μας επαγωγικά:

Αν το $b$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ τότε δεν έχουμε να αποδείξουμε κάτι – πάντα διασκεδάζω τέτοιου είδους επισημάνσεις στις αποδείξεις. Αναλόγως, αν το $a$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ τότε θα είναι και το ελάχιστο (γιατί;) άρα δεν έχουμε πάλι κάτι να αποδείξουμε
Στην αντίθετη περίπτωση, όπου τα δεν είναι ελάχιστα άνω φράγματα του θέτουμε και και θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό – τον αριθμητικό μέσο, δηλαδή, των παραπάνω. Έχουμε τώρα τρία ενδεχόμενα:
- Αν ο $c_1$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ τότε θέτουμε $a_2=a_1$ και $b_2=c_1.$
- Αν ο $c_1$ δεν είναι ένα άνω φράγμα του $A$ τότε θέτουμε $a_2=c_1$ και $b_2=b_1.$
Σε κάθε περίπτωση, από τα παραπάνω έχουμε ότι $a_2<b_2$ καθώς και ότι $b_2-a_2=\dfrac{b_1-a_1}{2}.$ Επίσης, $a_1\leq a_2$ και $b_1\leq b_2.$
Θεωρούμε τώρα τον αριθμό και διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:
- Αν ο $c_2$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ τότε θέτουμε $a_3=a_2$ και $b_3=c_2.$
- Αν ο $c_2$ δεν είναι ένα άνω φράγμα του $A$ τότε θέτουμε $a_3=c_2$ και $b_3=b_2.$
Σε κάθε περίπτωση, από τα παραπάνω έχουμε ότι $a_3<b_3$ καθώς και ότι $b_3-a_3=\dfrac{b_2-a_2}{2}.$ Επίσης, $a_2\leq a_3$ και $b_2\leq b_3.$

Συνεχίζοντας επαγωγικά την παραπάνω διαδικασία κατασκευάζουμε δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών, $(a_n)_n,(b_n)_n$ έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής:

η $a_n$ είναι αύξουσα και η $b_n$ φθίνουσα,
$a_n<b_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N},$
$b_n-a_n=\dfrac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ και,
τα $b_n$ είναι άνω φράγματα του $A$ ενώ τα $a_n$ όχι.

Θεωρούμε τώρα τα διαστήματα $I_n=[a_n,b_n]$ τα οποία, από τις δύο πρώτες ιδιότητες που έχουμε παραπάνω αποτελούν μία φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστημάτων, δηλαδή:

$I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\ldots$

Η τρίτη ιδιότητα που έχουμε παραπάνω μπορεί με λίγη επεξεργασία να μας δώσει το εξής για κάθε $n\in\mathbb{N}:$

$\displaystyle b_n-a_n=\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}=\frac{b_{n-2}-a_{n-2}}{2\cdot2}=\ldots=\frac{b_1-a_1}{2^n}.$

Δηλαδή, με τον αρχικό μας συμβολισμό έχουμε:

$b_n-a_n=\dfrac{b-a}{2^n}\to0.$

Ικανοποιούνται, συνεπώς, όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor, οπότε και υπάρχει (μοναδικό) $c\in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty I_n=\{c\}.$

Δηλαδή, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ έχουμε:

$c\in I_n\Leftrightarrow a_n\leq c\leq b_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}.$

Θα αποδείξουμε τώρα ότι το $c$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A,$ δηλαδή ότι $c\sup A.$ Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να αποδείξουμε δύο πράγματα:

ότι είναι πράγματι ένα άνω φράγμα του $A$ και,
ότι είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A.$

Τώρα αυτό ίσως να φάνηκε λίγο χαζό γιατί γράψαμε ότι για να αποδείξουμε ότι είναι το ελάχιστο άνω φράγμα πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι το ελάχιστο άνω φράγμα + κάτι ακόμα, αλλά ελπίζω να ήταν σαφές γιατί το εκφράσαμε έτσι.

Θα ξεκινήσουμε με το να αποδείξουμε ότι το $c$ είναι ένα (απλό) άνω φράγμα του συνόλου $A.$ Έστω, προς άτοπο, ότι δεν είναι. Αυτό σημαίνει ότι υπάχει κάποιο στοιχείο $x\in A$ το οποίο να είναι μεγαλύτερό του, δηλαδή $x>c.$ Ειδικότερα, $x\neq c$ και άρα το $x\not\in\{c\}$ ή, από τα παραπάνω, το $x$ δεν ανήκει στην τομή όλων των διαστημάτων που έχουμε παραπάνω. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει (τουλάχιστον) ένα διάστημα $I_m$ έτσι ώστε $x\not\in I_m.$ Δεδομένου ότι $c\in[a_m,b_m]$ και ότι $x>c$ έχουμε το εξής:

$a_m\leq c\leq b_m<x,$

που είναι άτοπο, διότι το $b_m$ είναι ένα άνω φράγμα του συνόλου $A$ και άρα εξ ορισμού ισχύει $b_m\geq x.$ Συνεπώς, το $c$ είναι πράγματι ένα άνω φράγμα του $A.$

Τι μας έμεινε ακόμα; Να δείξουμε ότι είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A.$ Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να δείξουμε ότι δεν υπάρχει άνω φράγμα του $A$ που να είναι μικρότερο του $c.$ Έστω, προς άτοπο, ότι υπάρχει ένα άνω φράγμα $d$ του $A$ που να είναι μικρότερο του $c.$ Θα πορευθούμε προς το άτοπο με τρόπο ανάλογο με παραπάνω. Αφού $d<c$ έπεται ότι $d\neq c$ και άρα το $d\not\in\{c\}$ οπότε δεν ανήκει ούτε στην τομή όλων των διαστημάτων. Συνεπώς, υπάρχει κάποιο διάστημα $I_k=[a_k,b_k]$ το οποίο δεν περιέχει το $d.$ Επειδή, τώρα $c\in[a_k,b_k]$ και $d<c$ έπεται ότι:

$d<a_k\leq c\leq b_k.$

Το παραπάνω είναι σαφώς άτοπο καθώς το $a_k$ δεν είναι άνω φράγμα του $A$ και άρα δε γίνεται ένας αριθμός μικρότερός του να είναι άνω φράγμα του $A.$ Συνεπώς δεν υπάρχει άνω φράγμα του $A$ μικρότερο του $c$ και άρα το $c$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A,$ δηλαδή $c=\sup A.$

Επειδή το σύνολο $A$ ήταν ένα αυθαίρετο μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο, έχουμε αποδείξει ότι κάθε μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο έχει ελάχιστο άνω φράγμα, όπως ακριβώς έπρεπε, δηλαδή.

Επομένως, όπως θέλαμε, αποδείξαμε ότι η συνήθης διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας είναι ισοδύναμη με το θεώρημα των εκγιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor!

Επίλογος

Σε αυτό το πρώτο τμήμα του τρίτου μέρους της σειράς μας για το αξίωμα της πληρότητας είδαμε πώς το αξίωμα της πληρότητας μπορεί να περιγραφεί με ένα διαφορετικό και αρκετά εναλλκτικό τρόπο. Για την ακρίβεια, από εκεί που έχουμε τη συνήθη διατύπωση περί ελαχίστων άνω φραγμάτων περάσαμε σε μία διατύπωση που αναφέρεται σε μία πολύ συγκεκριμένη κατηγορία διαστημάτων. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσει κανείς πώς, ενώ η αρχική διατύπωση αναφέρεται σε πολύ ποικιλόμορφα και εν γένει ακόμα και «άσχημα» σύνολο – ο μόνος περιορισμός μας είναι να είναι μη κενά και άνω φραγμένα – το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor αναφέρεται κλάση συνόλων που είναι τα κλειστά διαστήματα πραγματικών αριθμών. Συνεπώς, κατά κάποιον τρόπο, η εν λόγω διατύπωση της ιδιότητας τη πληρότητας των πραγματικών αριθμών αποτελεί μία πιο συμπιεσμένη μορφή της συνήθους διατύπωσης που έχουμε δει. Ωστόσο, το τίμημα αυτής της συμπίεσης είναι να χρειαζόμαστε και πιο περίπλοκα εκφραστικά μέσα. Πράγματι, ενώ στη συνήθη διατύπωση γίνεται λόγος μόνο για σύνολα και άνω φράγματα, στο θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων του Cantor γίνεται λόγος για κλειστά διαστήματα, ακολουθίες διαστημάτων και ακολουθίες αριθμών, έννοιες σαφώς πιο περίπλοκο να ορίσει και να περιγράψει κανείς από ένα μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο. Αυτός ακριβώς ο μινιμαλισμός της συνήθους διατύπωσης του αξιώματος της πληρότητας μέσω του supremum είναι και αυτός που την καθιέρωσε και ως την επικρατέστερη.

Με αφορμή την παραπάνω αναδιατύπωση του αξιώματος της πληρότητας, μπορεί κανείς να παρουσιάσει μία κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς που βασίζεται σε κλειστά διαστήματα ρητών αριθμών. Περισσότερα επ’αυτού, όμως, την επόμενη εβδομάδα!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Tamaris, Γαλλία του Pierre-Auguste Renoir.

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

2 comments

Ο/Η Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (3β) – Aftermaths λέει:

21 Ιουνίου 2021 στο 15:34

[…] μη εξαιρετέο θεώρημα του Cantor – για περισσότερα, δείτε εδώ. Με βάση τώρα αυτήν την διατύπωση μέσα από ακολουθίες […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano; – aftermaths.gr λέει:

19 Δεκεμβρίου 2021 στο 21:35

[…] Αρχικά, κάπου εδώ να πούμε ότι ο τίτλος αυτής της ανάρτησης θα ήταν «Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (4)». Ωστόσο, αυτός ο τίτλος είναι αρκετά μεγάλος και άβολος – γιατί χαλάει όλο το rendering της αρχικής σελίδας, που λένε και στο χωριό μου. Ως εκ τούτου, αν και μέρος της εν λόγω σειράς, ο τίτλος είναι διαφορετικός. Τώρα που βγάλαμε από τη μέση αυτήν την εξωμαθηματική υποχρέωση, ας περάσουμε στα πιο ενδιαφέροντα ζητήματα που θα μας απασχολήσουν παρακάτω. Αρχικά, θα αποδείξουμε το ίδιο το θεώρημα του Bolzano με τρόπο που να κάνει σαφές το πώς αυτό εξαρτάται από την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Γι’ αυτόν τον σκοπό θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη αναδιατύπωση του αξιώματος της πληρότητας – που έχουμε συζητήσει εκτενώς εδώ: […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση