Πόσο άρρητος είσαι;

Την προηγούμενη εβδομάδα είδαμε ότι ο $\pi$ είναι άρρητος. Για την ακρίβεια, κοπιάσαμε αρκετά και περάσαμε μέσα από τα δύσβατα χωράφια των ολοκληρωμάτων αλλά, τελικά, καταφέραμε να αποδείξουμε το πολυπόθητο αποτέλεσμα – για περισσότερα για την απόδειξη και τη διαίσθηση πίσω από αυτή, δείτε εδώ. Υπαινιχθήκαμε, μάλιστα, προς το τέλος της εν λόγω ανάρτησης, ότι ο $\pi$ είναι «πιο άρρητος» από κάποιους άλλους άρρητους αριθμούς. Ωστόσο, τι πάει να πει «πιο άρρητος»; Δηλαδή, κάποιοι αριθμοί είναι περισσότερο άρρητοι; Βασικά, μετριέται η αρρητότητα – βασικά, ο όρος αρρητοσύνη μου αρέσει περισσότερο, οπότε θα κρατήσουμε αυτόν.

Ένα παράδειγμα – ή, μήπως, δύο;

Η αλήθεια είναι ότι, πράγματι, μπορούμε να μετρήσουμε την αρρητοσύνη. Πριν περάσουμε σε λεπτομέρειες, ας δούμε δύο παραδείγματα για να πάρουμε μία ιδέα για το πώς κάποιοι άρρητοι είναι πιο… άρρητοι.

Αρχικά, ας πάρουμε ίσως τον πιο γνωστό άρρητο αριθμό: την τετραγωνική ρίζα του δύο. Με τη βοήθεια μίας αριθμομηχανής μπορούμε να βρούμε αρκετά ψηφία του δεκαδικού της αναπτύγματος, όπως αυτά που φαίνονται παρακάτω:

$\sqrt{2}=1.4142135623730950488016887242097...$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να βρούμε έναν ρητό αριθμό $q_n$ που να προσεγγίζει καλά την $\sqrt{2}$ με ακρίβεια $n$ δεκαδικών ψηφίων – δηλαδή, να συμφωνεί με το παραπάνω ανάπτυγμα στα πρώτα $n$ δεκαδικά ψηφία. Η προφανέστερη επιλογή που έχουμε να κάνουμε, ας πούμε για $n=5,$ είναι να επιλέξουμε τον εξής ρητό:

$q_5=\dfrac{141421}{100000}.$

Αυτός ο ρητός είναι, εν γένει, «άκομψος», καθώς και ο αριθμητής του και ο παρονομαστής του είναι αρκετά μεγάλοι αριθμοί. Για την ακρίβεια, θέλαμε να προσεγγίσουμε με ένα (δεκαδικό) κλάσμα τον $\sqrt{2}$ με ακρίβεια 5 δεκαδικών και το κλάσμα που κατασκευάσαμε έχει τόσο αριθμητή όσο και παρονομαστή εξαψήφιους ακεραίους. Χειρότερα δε θα μπορούσαμε να τα καταφέρουμε, μιας και 6 ψηφία συνολικά του $\sqrt{2}$ θέλαμε να «πιάσουμε» (την μονάδα και τα πρώτα πέντε δεκαδικά).

Ας δούμε τώρα τον εξής άρρητο αριθμό:

$\ell=0.110001000000000000000001000\ldots,$

όπου 0 και 1 εναλλάσσονται με έναν προς το παρόν απροσδιόριστο αλλά απεριοδικό τρόπο – και άρα ο $\ell$ πράγματι δεν είναι ρητός. Εδώ, αν θέλουμε να κάνουμε μία προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων μπορούμε πολύ εύκολα να χρησιμοποιήσουμε το κομψότατο κλάσμα:

$r_5=\dfrac{11}{100}.$

Πανέμορφο! Λιτό, με αριθμητή και παρονομαστή με μόλις 2 και 3 ψηφία, αντίστοιχα, καμία σχέση με εκείνο το τερατούργημα το $q_5.$ Μάλιστα, ο $\ell$ , αν και άρρητος, είναι αρκετά «ρητός», υπό την έννοια ότι αυτά τα 16 μηδενικά που έχει μετά το έκτο δεκαδικό ψηφίο του μας επιτρέπουν να τον προσεγγίσουμε με ακρίβεια 23 ψηφίων με ένα κλάσμα τόσο απλό όσο το:

$r_{23}=\dfrac{110001}{1000000}.$

Από την άλλη, για να προσεγγίσουμε τον $\sqrt{2}$ με ακρίβεια 23 δεκαδικών ψηφίων θα χρειαστούμε έναν αριθμό σαν τον:

$q_{23}=\dfrac{141421356237309504880168}{10^{23}}.$

Εντάξει, μπορεί να απλοποιείται λίγο το παραπάνω κλάσμα, αλλά το $r_5$ δεν το φτάνει σε ομορφιά.

Είναι σαφές από την παραπάνω σύγκριση ότι ο $\ell$ είναι πολύ «πιο ρητός» από τον $\sqrt{2},$ καθώς μπορεί να προσεγγιστεί εύκολα με αρκετά «απλούς» ρητούς. Από την άλλη, ο $\sqrt{2}$ είναι «πολύ άρρητος» αφού, εν γένει, αν επιθυμούμε να βρούμε έναν ρητό που να τον προσεγγίζει με μία ακρίβεια $n$ θα χρειαστεί να πάρουμε ένα αρκετά «περίπλοκο» κλάσμα με σχεδόν $n-$ ψήφιο αριθμητή και παρονομαστή.

Μετρώντας την αρρητοσύνη

Έχοντας πλέον μία εικόνα για το πόσο διαφορετικοί μπορεί να είναι κάποιοι άρρητοι αριθμοί, θα προσπαθήσουμε να ορίσουμε ένα μέτρο αυτής της αρρητοσύνης. Για την ακρίβεια, δεν είναι ότι θα το ορίσουμε εμείς, όλη τη δουλειά την έχει κάνει ένας γνωστός και μη εξαιρετέος μαθηματικός, ο Joseph Liouville. Ωστόσο, έχει ένα ενδιαφέρον να ακολουθήσουμε τον δρόμο από τα παραπάνω παραδείγματα μέχρι και τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό της αρρητοσύνης.

Για να δώσουμε έναν καλό μαθηματικό ορισμό, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να ξεκαθαρίσουμε τι είναι αυτό που θέλουμε να ορίσουμε. Στην προκειμένη, θέλουμε να δώσουμε έναν ορισμό που κάπως να μας επιτρέπει να διακρίνουμε ανάμεσα σε άρρητους αριθμούς που μπορούν να προσεγγιστούν εύκολα από «απλούς» ρητούς και σε εκείνους που αυτό δεν είναι εφικτό – όπως ο $\ell$ και ο $\sqrt{2}$ παραπάνω. Ας, υποθέσουμε, όπως παραπάνω, ότι αναζητούμε κλάσματα που να μπορούν να προσεγγίσουν με ακρίβεια 23 δεκαδικών ψηφίων τους αριθμούς $\ell$ και $\sqrt{2}.$ Αυστηρά, αυτό σημαίνει ότι αναζητούμε ρητούς $q,r\in\mathbb{Q}$ έτσι ώστε:

$|\sqrt{2}-q|<\dfrac{1}{10^{23}}$ και $|\ell-r|<\dfrac{1}{10^{23}}.$

Παραπάνω είδαμε δύο επιλογές για τους $q,r,$ ωστόσο, όπως φαντάζεστε, δεν είναι οι μόνες. Για την ακρίβεια, υπάρχουν αρκετά περισσότερες και για τους δύο αριθμούς. Ωστόσο, εμάς δε μας ενδιαφέρουν όλες οι ρητές προσεγγίσεις αλλά αυτές που δεν είναι αρκετά «πολύπλοκες». Κι εδώ θα προσπαθήσουμε να περιγράψουμε αυτό το «πολύπλοκες» λίγο σαφέστερα. Κατά βάση, θα εστιάσουμε στους παρονομαστές των κλασμάτων μας. Δεδομένου ότι αποζητούμε προσέγγιση με ακρίβεια $10^{-23},$ είναι λογικό να θέλουμε και οι παρονομαστές των κλασμάτων μας να μην έχουν περισσότερα από 23 δεκαδικά ψηφία. Άλλωστε, πάντοτε μπορούμε να βρούμε μία τέτοια προσέγγιση, όπως εξηγήσαμε παραπάνω – παίρνοντας απλά τα πρώτα 23 ψηφία του δεκαδικού αναπτύγματος του εν λόγω αριθμού.

Ας μελετήσουμε λίγο παραπάνω τις προσεγγίσεις που παρουσιάσαμε. Θα ασχοληθούμε μόνο με δεκαδικά κλάσματα για αρχή – όσα θα πούμε θα γενικευτούν αρκετά εύκολα για κάθε κλάσμα στην πορεία. Μία προσέγγιση με παρονομαστή $10^{23}$ για τον $\sqrt{2}$ είναι, όπως είπαμε, η:

$\dfrac{141421356237309504880168}{10^{23}}.$

Αντίστοιχα, για τον $\ell$ μία τέτοια προσέγγιση είναι η:

$\dfrac{110001}{1000000}=\dfrac{110001}{10^6}.$

Παρατηρήστε ότι, αυστηρά μιλώντας, αυτό που διαφοροποιεί τις δύο προσεγγίσεις είναι ότι ο πρώτος παρονομαστής είναι $10^{23}$ ενώ ο δεύτερος μόλις $10^6.$ Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι χρησιμοποιώντας ένα κλάσμα με παρονομαστή $10^{23}$ καταφέραμε ακρίβεια της τάξης του $10^{23}$ – δηλαδή δεν κερδίσαμε σε ακρίβεια σε σχέση με την προσέγγισή μας – σε ό,τι αφορά τον $\sqrt{2}.$ Από την άλλη, για τον $\ell$ με ένα κλάσμα με παρονομαστή $10^6$ πετύχαμε και πάλι ακρίβεια της τάξης του $10^{23}$ – δηλαδή, κερδίσαμε $23/6\approx3.83$ φορές περισσότερη ακρίβεια από αυτή που «επενδύσαμε».

Σαν κάτι να αρχίζει να φαίνεται σιγά-σιγά στον ορίζοντα. Στην ουσία, αυτό που παραπάνω λέγαμε «απλό» κλάσμα ήταν ένα κλάσμα με παρονομαστή αρκετά μικρό σε σχέση με την επιθυμητή μας ακρίβεια. Αυτή ακριβώς είναι και η ιδέα που θα γενικεύσουμε. Αν πάρουμε ένα κλάσμα $\frac{a}{b}$ που είναι μη τετριμμένη προσέγγιση ενός πραγματικού αριθμού $x$ – δηλαδή δεν είναι ο ίδιος ο $x$ – τότε πόσο κοντά μπορούμε να πάμε στον $x$ σε σχέση με τον παρονομαστή $b$ του κλάσματος; Στα μαθηματικένια, ποιος είναι ο μέγιστος εκθέτης $\mu\geq1$ για τον οποίο ισχύει ότι:

$\displaystyle\left|x-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b^\mu};$

Για παράδειγμα, για τον $\sqrt{2}$ και για $b=10^{23}$ έχουμε $\mu\geq1$ ενώ για τον $\ell$ για $b=10^6$ έχουμε $\mu\geq\frac{23}{6}.$

Βρήκαμε, άραγε, τον ορισμό που θέλαμε; Όχι, είναι η αλήθεια, Είμαστε κοντά, μιας και έχουμε αποδελτιώσει σε μαθηματική γλώσσα την έννοια του «απλού» κλάσματος, ωστόσο αν αρκεστούμε μόνο στο παραπάνω έχουμε ένα θέμα. Θεωρήστε, για παράδειγμα, τον αριθμό:

$\ell'= 0.11000100000000000000000141421356237309504880168\ldots$

Πρακτικά, ο $\ell'$ ξεκινάει με το ίδιο δεκαδικό ανάπτυγμα όπως ο $\ell$ αλλά συνεχίζει με το δεκαδικό ανάπτυγμα του $\sqrt{2}.$ Επομένως, αναμένουμε για «μικρή» ακρίβεια – μέχρι και 23 δεκαδικά ψηφία – να συμπεριφέρεται όπως ο $\ell,$ σαν ένας «πολύ ρητός» άρρητος, ενώ για μεγάλη ακρίβεια να συμπεριφέρεται όπως ο $\sqrt{2}$ – που, όπως φαντάζεστε, είναι «πολύ άρρητος». Επομένως, δε μας αρκεί για κάποιον $b\in\mathbb{Z}_+$ να ισχύουν όλα τα παραπάνω αλλά για άπειρους $b\in\mathbb{Z}_+$ . Για την ακρίβεια, λαμβάνοντας όλα τα παραπάνω υπόψιν, μπορούμε να δώσουμε τον εξής ορισμό του μέτρου αρρητοσύνης (irrationality measure):

Ένας πραγματικός αριθμός $x$ λέμε ότι έχει μέτρο αρρητοσύνης $\mu$ αν ο $\mu$ είναι ο μέγιστος (θετικός) πραγματικός αριθμός για τον οποίον υπάρχουν άπειρα ζεύγη ακεραίων $a,b$ με $b>0$ έτσι ώστε $\displaystyle 0<\left|x-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b^\mu}.$ Λέμε, επίσης ότι ο $x$ έχει άπειρο μέτρο αρρητοσύνης αν για κάθε $\mu\in\mathbb{R}$ ισχύει η παραπάνω ανισότητα για άπειρα ζεύγη ακεραίων.

Στην ουσία το μέτρο αρρητοσύνης $\mu$ ενός αριθμού αποτυπώνει όλα όσα είπαμε παραπάνω καθώς αποτελεί το μέγιστο «κέρδος» σε ακρίβεια που μπορούμε να έχουμε καθολικά – για άπειρους στο πλήθος ρητούς.

Παρατηρήστε πως όσο μεγαλύτερο είναι το μέτρο αρρητοσύνης ενός αριθμού, εν γένει, τόσο πιο «εύκολα» μπορούμε να τον προσεγγίσουμε με «μικρούς» ρητούς και άρα τόσο πιο «ρητός» άρρητος είναι. Αυτό, σαφώς, δε σημαίνει ότι δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε κάποιους άρρητους με ρητούς αριθμούς ανώ κάποιους άλλους μπορούμε – άλλωστε, οι ρητοί είναι πυκνοί στους πραγματικούς αριθμούς – αλλά ότι εύκολα και με μικρά κλάσματα κερδίζουμε αρκετή ακρίβεια στις προσεγγίσεις μας για κάποιους άρρητους αριθμούς ενώ για κάποιους άλλους όχι.

Επίσης, παρατηρήστε ότι ο παραπάνω ορισμός έχει ως συνεπακόλουθο ότι οι τιμές του $b$ – του παρονομαστή – που ικανοποιούν την ανισότητα:

$\displaystyle 0<\left|x-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b^\mu}$

είναι άπειρες στο πλήθος. Πράγματι, αν ήταν πεπερασμένες, τότε θα έπρεπε για κάποιον συγκεκριμένο παρονομαστή $b_0$ να υπάρχουν άπειρες στο πλήθος τιμές του αριθμητή, $a_n$ που να ικανοποιούν την:

$\displaystyle0<\left|x-\frac{a_n}{b_0}\right|<\frac{1}{b_0^\mu}.$

Ωστόσο, επειδή οι $a_n$ είναι άπειροι στο πλήθος ακέραιοι, αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία $a_n$ δεν είναι φραγμένη, άρα ούτε και η ακολουθία $\frac{a_n}{b_0}$ . Αλλά, δεδομένης της παραπάνω ανισότητας, πρέπει ταυτόχρονα όλοι οι $\frac{a_n}{b_0}$ να απέχουν από τον $x$ το πολύ $b_0^{-\mu},$ άρα πρέπει η $\frac{a_n}{b_0}$ να είναι φραγμένη, άτοπο!

Επομένως, υπάρχουν ρητές προσεγγίσεις με αυθέραιτα μεγάλους παρονομαστές, γεγονός που επιβεβαιώνει και αυτό που θέλαμε για να αποφύγουμε να χαρακτηρίσουμε αριθμούς σαν τον $\ell'$ ως αρκετά «ρητούς».

Τα μέτρα αρρητοσύνης διάφορων αριθμών

Ωραία, ορίσαμε τι πάει να πει «πολύ» και «λίγο» άρρητος. Τώρα είναι η ώρα να εξετάσουμε διάφορους πραγματικούς αριθμούς και το πόσο άρρητοι είναι.

Ρητοί

Η αλήθεια είναι ότι δε θα περίμενε κανείς οι πρώτοι αριθμοί που θα εξετάσουμε για την αρρητοσύνη τους να είναι οι… ρητοί. Ωστόσο, είναι μία εύκολη περίπτωση και θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε λίγο καλύτερα τους μηχανισμούς του ορισμού που δώσαμε παραπάνω. Ας πάρουμε, λοιπόν, έναν ρητό $\frac{m}{n}$ όπου $m,n$ ακέραιοι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους – δηλαδή με μέγιστο κοινό διαιρέτη τη μονάδα – και $n>0.$ Ψάχνουμε τον μεγαλύτερο εκθέτη $\mu$ έτσι ώστε να υπάρχουν άπειροι $a,b$ ακέραιοι με $b>0$ που να ικανοποιούν την ανισότητα:

$\displaystyle0<\left|\frac{m}{n}-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b^\mu}.$

Παρατηρούμε ότι για $\mu=1$ μπορούμε να βρούμε άπειρα τέτοια ζευγάρια. Πράγματι, αναζητούμε άπειρους στο πλήθος ακεραίους $a,b,$ $b>0$ έτσι ώστε:

$\displaystyle0<\left|\frac{m}{n}-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b}\Leftrightarrow\frac{a-1}{b}<\frac{m}{n}<\frac{a+1}{b},\ \frac{m}{n}\neq\frac{a}{b}.$

Το παραπάνω ίσως να γίνει λίγο πιο εύπεπτο αν εξαφανίσουμε τους παρονομαστές:

$(a-1)n<bm<(a+1)n\Leftrightarrow an-n<bm<an+n.$

Επομένως, πρέπει να επιλέξουμε $a,b$ έτσι ώστε να ισχύει η παραπάνω ανισότητα. Με άλλα λόγια, αναζητούμε άπειρες επιλογές για το $a$ έτσι ώστε να μπορούμε να βρούμε στο διάστημα $(an-n,an+n)$ ένα πολλαπλάσιο του $m.$ Παρατηρούμε τώρα ότι τα διαστήματα $(an-n,an+n)$ καλύπτουν όλους τους ακεραίους για $a=\ldots,-2,1,0,1,2,\ldots$ Πράγματι, για $a=0$ έχουμε $(-n,n),$ για $a=1$ έχουμε $(0,2n)$ , για $a=2$ έχουμε $(n,3n)$ και, αντίστοιχα, για $a=-1$ έχουμε $(-2n,0)$ κ.ο.κ. Συνεπώς, για κάθε επιλογή του $b$ έχουμε ένα πολλαπλάσιο $bm$ του $m$ το οποίο, αφού είναι ακέραιος, θα ανήκει σε κάποιο από τα διαστήματα $(an-n,an+n)$ για κατάλληλο $a.$ Με άλλα λόγια, για κάθε $b=1,2,\ldots$ υπάρχει ένας $a=a(b)\in\mathbb{Z}$ έτσι ώστε:

$an-n<bm<an+n,$

που ήταν και το ζητούμενο – αφού έτσι έχουμε άπειρες επιλογές για το ζεύγος $(a,b).$ Συνεπώς, για κάθε ρητό, $\mu\geq1.$

Μπορεί, άραγε, ένας ρητός να έχει μέτρο αρρητοσύνης μεγαλύτερο της μονάδας; Ας πάρουμε έναν $\mu>1\Leftrightarrow\mu=1+\delta$ για κάποιο $\delta>0$ κι ας εξετάσουμε την επιθυμητή ανισότητα:

$\begin{aligned}&\hphantom{\Leftrightarrow}\ \,0<\left|\frac{m}{n}-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b^{1+\delta}}\\&\Leftrightarrow\frac{a}{b}-\frac{1}{b^{1+\delta}}<\frac{m}{n}<\frac{a}{b}+\frac{1}{b^{1+\delta}}\\&\Leftrightarrow anb^\delta-n<mb^{1+\delta}<anb^\delta+n.\end{aligned}$

Το σκεπτικό μας εδώ είναι παρόμοιο: θέλουμε να βρούμε «πολλαπλάσια» του $b$ της μορφής $mb^{1+\delta}$ μέσα σε διαστήματα της μορφής $(anb^\delta-n,anb^\delta+n).$ Θα εξετάσουμε και πάλι τα εν λόγω διαστήματα για διάφορες τιμές του $a\in\mathbb{Z}$ – λόγω συμμετρίας, θα περιοριστούμε σε μη αρνητικές τιμές του $a:$

για $a=0$ έχουμε $(-n,n),$
για $a=1$ έχουμε $(b^\delta n-n,b^\delta n+n),$
για $a=2$ έχουμε $(2b^\delta n-n,2b^\delta n+n),$
για $a=3$ έχουμε $(3b^\delta n-n,3b^\delta n+n),$
…

Από τα παραπάνω δε φαίνεται να προκύπτει κάτι το προβληματικό, τουλάχιστον όχι με μια πρώτη ματιά. Ωστόσο, αν κοιτάξουμε λίγο καλύτερα, θα δούμε ότι αυτό το $b^\delta$ που έχει εμφανιστεί κάνει ζημιά. Για την ακρίβεια, τα παραπάνω διαστήματα δεν μπορούν να καλύψουν επαρκώς τους ακεραίους για όλες τις επιλογές του $b.$ Πράγματι, αν θέλουμε τα παραπάνω διαστήματα να καλύπτουν όλους τους ακεραίους πρέπει το δεξί άκρο ενός διαστήματος να είναι μικρότερο από το αριστερό άκρο του επόμενού του ή, πιο τυπικά, θέλουμε για κάθε $a,b$ να ισχύει ότι:

$anb^\delta+n>(a+1)nb^\delta-n\Leftrightarrow 2n>nb^\delta\Leftrightarrow 2>b^\delta\Leftrightarrow b<2^{1/\delta}.$

Σαφώς, το παραπάνω δεν ισχύει για κάθε $b\in\mathbb{Z}_{+}$ οπότε το προηγούμενο επιχειρημά μας σίγουρα δε δουλεύει σε αυτήν την περίπτωση. Για την ακρίβεια, τα εν λόγω διαστήματα, έστω $I_a,$ για δεδομένο $a\in\mathbb{Z}$ γίνονται ολοένα και πιο «απομακρυσμένα» καθώς η απόσταση μεταξύ του δεξιού άκρου του $I_a$ αριστερού άκρου του $I_{a+1}$ είναι ίση με $nb^\delta-2n$ που γίνεται αυθαίρετα μεγάλη για αρκετά μεγάλες τιμές του $b.$

Σαφώς, τα παραπάνω δεν απαγορεύουν άμεσα σε «πολλαπλάσια» του $m$ της μορφής $mb^{1+\delta}$ να «πέφτουν» μέσα στα εν λόγω διαστήματα για άπειρες στο πλήθος επιλογές για το $b$ – θυμηθείτε ότι είναι αναγκαίο να μπορούμε να επιλέξουμε άπειρους στο πλήθος διαφορετικούς παρονομαστές για να είναι ο $\mu=1+\delta$ μέτρο αρρητοσύνης του $\frac{m}{n}.$ Ενδιαφέρον έχει σε αυτό το σημείο να εξετάσουμε πώς συμπεριφέρονται αυτά τα «πολλαπλάσια» του $m$ για διάφορες τιμές του $b=1,2,\ldots$ Αρχικά, ας πάρουμε δύο διαδοχικά «πολλαπλάσια»:

$\begin{aligned}m(b+1)^{1+\delta}-mb^{1+\delta}&=m(b+1)(b+1)^\delta-mbb^\delta=\\&=m(b+1)^\delta+mb\left((b+1)^\delta-b^\delta\right)\\&\geq m(b+1)^\delta.\end{aligned}$

Σαφώς, καθώς $b\to\infty$ έχουμε και $m(b+1)^\delta\to\infty$ οπότε και τα «πολλαπλάσια» του $m$ απομακρύνονται απεριόριστα πολύ καθώς μεγαλώνουν οι επιλογές που κάνουμε για τους παρονομαστές μας. Σκουραίνουν ακόμα περισσότερο τα πράγματα καθώς αφενός τα διαστήματα που στοχεύουμε αραιώνουν καθώς προχωράμε προς το $+\infty$ αλλά και τα πολλαπλάσια που θα θέλαμα να «πέφτουν» μέσα στα εν λόγω διαστήματα «αραιώνουν» επίσης.

Τώρα που πήραμε μία ιδέα για το προς τα πού πρέπει να κινηθούμε, θα αποδείξουμε ότι δε γίνεται να έχουμε άπειρα ζεύγη $a,b$ που να ικανοποιούν την επιθυμητή ανισότητα για $\mu>1.$ Γι’ αυτόν τον σκοπό σταθεροποιούμε έναν $b$ και εξατάζουμε υπό ποιες συνθήκες ισχύει ότι $mb^{1+\delta}\in I_a.$ Πρέπει, σαφώς:

$\displaystyle ab^\delta n-n<mb^{1+\delta}\Leftrightarrow a<\frac{m}{n}b+\frac{1}{b^\delta}.$

Από την άλλη, θέλουμε επίσης:

$\displaystyle mb^{1+\delta}<ab^\delta n+n\Leftrightarrow a>\frac{m}{n}b-\frac{1}{b^\delta}.$

Συνεπώς, πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle \frac{m}{n}b-\frac{1}{b^\delta}<a<\frac{m}{n}b+\frac{1}{b^\delta}.$

Αναγκαίο για το παραπάνω είναι το διάστημα $\left( \frac{m}{n}b-\frac{1}{b^\delta} , \frac{m}{n}b+\frac{1}{b^\delta} \right)$ να περιέχει ακέραιο, πράγμα αδύνατο αν ο $\frac{m}{n}b$ δεν είναι ακέραιος – καθώς, τελικά, $\frac{1}{b^\delta}\to0$ και άρα η διάμετρος του διαστήματος μικραίνει αρκετά και περιέχει μονάχα αριθμούς που είναι «πολύ κοντά» στον $\frac{m}{n}b.$

Επομένως, πρέπει ο $\frac{m}{n}b$ να είναι ακέραιος, άρα πρέπει – δεδομένου ότι οι $m,n$ είναι σχετικά πρώτοι – ο $b$ να είναι πολλαπλάσιο του $n.$ Έστω, λοιπόν, $b=kn$ για $k$ θετικό ακέραιο. Τότε, για μεγάλες τιμές του $k$ έχουμε $\dfrac{1}{b^\delta}<1$ και άρα ο μόνος ακέραιος που περιέχεται στο διάστημα $\left( \frac{m}{n}b-\frac{1}{b^\delta} , \frac{m}{n}b+\frac{1}{b^\delta} \right)$ – και άρα η μοναδική επιλογή για τον $a$ – είναι ο:

$\displaystyle a=\frac{m}{n}b=\frac{m}{n}kn=km.$

Όμως, τότε:

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{km}{kn}=\frac{m}{n},$

άτοπο, καθώς θέλουμε $\frac{a}{b}\neq\frac{m}{n}.$ Συνεπώς, υπάρχουν μόνο πεπερασμένες τιμές του $b$ για τις οποίες μπορούμε να βρούμε κλάσματα $\frac{a}{b}$ που να ικανοποιούν την επιθυμητή ανισότητα, άρα δε γίνεται ένας ρητός να έχει μέτρο αρρητοσύνης $\mu>1.$

Συνεπώς, κάθε ρητός έχει μέτρο αρρητοσύνης ίσο με τη μονάδα. Δηλαδή, δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε και πολύ «καλά» έναν ρητό με άλλους… ρητούς! Αν και αυτό ακούγεται λίγο παράδοξο, δεν είναι καθόλου, καθώς ένας ρητός είναι ήδη ρητός και άρα δε θα έπρεπε να περιμένουμε να υπάρχουν κι άλλοι ρητοί που να τον προσεγγίζουν αρκετά εύκολα, υπό την έννοια που έχουμε ορίσει παραπάνω. Για να το δούμε αυτό, ας σκεφτούμε τον αριθμό:

$c=0.000001=10^{-6}.$

Αν τώρα επιλέξουμε ένα κλάσμα με παρονομαστή $10^{100},$ ε, δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε το $c$ με ακρίβεια καλύτερη από $10^{100}$ καθώς δεν έχουμε περιθώριο – δεν μπορούμε να περάσουμε τα $100$ δεκαδικά ψηφία, καθώς τότε θα χρειαζόμαστε κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο του $10^n$ για $n>100$ και ο $c$ δε μας δίνει και πολλά περιθώρια, δεδομένου ότι τελικά έχει μόνο μηδενικά στο δεκαδικό του ανάπτυγμα – πράγμα που δε συμβαίνει με τους άρρητους.

Οι αριθμοί Liouville

Θα εξετάσουμε τώρα κάποιους αρκετά ενδιαφέροντες άρρητους αριθμούς που είναι, κατά βάθος, αρκετά… ρητοί. Για την ακρίβεια, θα εξηγήσουμε και θα επεκτείνουμε την ιδέα πίσω από τον αριθμό $\ell$ που είδαμε στην αρχή – μία ιδέα που αποδίδεται στον J. Liouville. Θεωρούμε έναν θετικό ακέραιο $b$ και μία (οπιαδήποτε) ακολουθία θετικών ακεραίων $a_k$ έτσι ώστε:

$a_k\neq0$ για άπειρους στο πλήθος δείκτες $k$ και,
$a_k\in\{0,1,2,\ldots,b-1\}.$

Θεωρούμε τώρα τον αριθμό:

$\displaystyle\ell(a,b)=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}.$

Πρακτικά, το παραπάνω αποτελεί το $b-$ αδικό ανάπτυγμα του $\ell(a,b)$ – δηλαδή το ανάπτυγμά του σε ένα σύστημα με $b$ ψηφία. Σαφώς, δεδομένου ότι ο παραπάνω αριθμός έχει άπειρο $b-$ αδικό ανάπτυγμα – αφού έχει άπειρα στο πλήθος μη μηδενικά ψηφία – και δεν είναι περιοδικός θα είναι άρρητος. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε $b=10$ και $a_k=1$ για κάθε $k$ τότε παίρνουμε τον αριθμό:

$\displaystyle\ell(a,10)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{10^{k!}}=0.110001000000000000000001000\ldots$

που είδαμε και παραπάνω. Πρακτικά, τα μη μηδενικά ψηφία του παραπάνω αριθμού στο $b-$ αδικό σύστημα είναι πολύ «αραιά», καθώς συναντάμε τέτοια ψηφία μόνο κάθε $k!$ θέσεις – όπως φαίνεται κι από τον ορισμό του. Αυτό μας δίνει την πολυτέλεια να μπορούμε να κερδίσουμε πολύ σε ακρίβεια καθώς προσεγγίζουμε με ρητούς και, για την ακρίβεια, μας επιτρέπει να έχουμε οσοδήποτε μεγάλο «κέρδος» σε ακρίβεια θέλουμε. Με άλλα λόγια, το μέτρο αρρητοσύνης των παραπάνω αριθμών είναι άπειρο.

Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε $n\in\mathbb{N}$ υπάρχουν άπειρα ζεύγη ακεραιών $(c,d)$ με $d>0$ έτσι ώστε να ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle\left|x-\frac{c}{d}\right|<\frac{1}{d^n}.$

Περιοριζόμαστε μόνο σε φυσικούς εκθέτες $n$ γιατί αν η παραπάνω ανισότητα ισχύει για έναν εκθέτη $n$ τότε ισχύει άμεσα – για τα ίδια ζεύγη – και για κάθε πραγματικό αριθμό $\mu<n.$ Επιλέγουμε, λοιπόν, έναν θετικό ακέραιο $n$ και θα βρούμε έναν ρητό $c_n/d_n$ που να ικανοποιεί την παραπάνω. Η αλήθεια είναι ότι αυτό είναι σχετικά προφανές – διαισθητικά, τουλάχιστον -, καθώς μία κατάλληλη επιλογή είναι η:

$\displaystyle d_n=b^{n!},\ c_n=b^{n!}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}.$

Επομένως, η προσέγγιση που εισηγούμαστε είναι η:

$\displaystyle \frac{c_n}{d_n}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}.$

Τώρα, παρατηρούμε ότι:

$\begin{aligned}\left|\ell(a,b)-\frac{c_n}{d_n}\right|&=\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}-\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}\right|=\\&=\sum_{k=n+1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}\\&\leq\sum_{k=n+1}^\infty\frac{b-1}{b^{k!}}=\\&=(b-1)\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{b^{k!}}\\&<(b-1)\sum_{k=(n+1)!}^\infty\frac{1}{b^k}=\\&=(b-1)\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{b^{(n+1)!+k}}=\\&=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{b^k}=\\&=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\frac{1}{1-\frac{1}{b}}=\\&= \frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\frac{b}{b-1}=\\&=\frac{b}{b^{(n+1)!}}=\\&=\frac{1}{b^{(n+1)n!-1}}\leq\frac{1}{b^{n!n}}=\frac{1}{d_n^n}.\end{aligned}$

Δηλαδή, γιατί με τόσες πράξεις μπορεί να μπλεχτήκαμε:

$\displaystyle 0<\left|\ell(a,b)-\frac{c_n}{d_n}\right|<\frac{1}{d_n^n},$

για κάθε $n\in\mathbb{N}.$ Συνεπώς, ο $\ell(a,b)$ έχει αυθαίρετα μεγάλο μέτρο αρρητοσύνης, δηλαδή έχει άπειρο μέτρο αρρητοσύνης.

Όπως εύκολα μπορεί κανείς να δει, οι αριθμοί Liouville είναι άπειροι στο πλήθος. Για την ακρίβεια, αμέσως από τον ορισμό τους έπεται ότι είναι υπεραριθμήσμοι στο πλήθος – αφού μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι είναι τουλάχιστον τόσοι πολλοί όσες και οι δυαδικές ακολουθίες. Συνεπώς, θα έλεγε κανείς ότι οι «ρητοί» άρρητοι είναι αρκετά πολλοί. Ωστόσο, αυτό είναι αληθές μόνο μέχρι ενός σημείου. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η πιθανότητα να επιλέξουμε έναν αριθμό Liouville αν επιλέγουμε πραγματικούς αριθμούς π.χ. από το $[0,1]$ στην τύχη είναι ακριβώς μηδέν, και άρα έμμεσα να συμπεράνουμε ότι, αφενός είναι πολλοί σε ό,τι αφορά το πλήθος τους, αλλά ότι δεν είναι «αρκετά» πολλοί για να τους συναντά κανείς συχνά. Άλλωστε, τι περίμενε κανείς, το «κακό» στα μαθηματικά είναι αυτό που υπερισχύει συνήθως.

Οι άλλοι άρρητοι;

Πέρα από τους αρρήτους Liouville, που μάλλον είναι πολλοί αλλά όχι τόσο πολλοί, υπάρχουν κι άλλοι άρρητοι, και μάλιστα αρκετοί. Κανένας από τους «συνήθεις» αρρήτους, άλλωστε, δεν είναι αριθμός Liouville: ούτε ο $\sqrt{2}$ ούτε καμία άλλη ρίζα ακεραίου, ούτε ο $\pi$ ούτε ο $e.$ Τι μέτρο αρρητοσύνης να έχουν άραγε αυτοί; Η αλήθεια είναι πως αυτό είναι αρκετά πιο δύσκολο ερώτημα από αυτά που απαντήσαμε παραπάνω. Για την ακρίβεια, το παραπάνω είναι ένα ανοικτό ερώτημα αφού για αριθμούς όπως ο $\pi$ δεν έχουμε κάποια ακριβή τιμή του μέτρου της αρρητοσύνης τους – μόνο ότι είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2 και μικρότερο από μία μυστήρια σταθερά λίγο πάνω από το 7.

Αυτό που ισχύει γενικά για τους υπόλοιπους άρρητους αριθμούς είναι ότι όλοι τους έχουν μέτρο αρρητοσύνης τουλάχιστον 2 με αρκετούς εξ αυτών – όπως για παράδειγμα τους αλγεβρικούς άρρητους αριθμούς – να έχουν μέτρο ακριβώς 2. Το ότι οι αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί, μάλιστα – δηλαδή οι ρίζες πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές – έχουν μέτρο αρρητοσύνης ακριβώς 2 πολύ θα θέλαμε να το αποδείξουμε σε αυτήν την ανάρτηση αλλά ήταν μία δουλειά που έδωσε στον Klaus Roth το Fields Medal και άρα, όπως φαντάζεται κανείς, δεν ήταν δα και κάτι τόσο απλό.

Επίλογος

Άρρητοι, πιο άρρητοι, λιγότερο άρρητοι, σχεδόν ρητοί άρρητοι… Πολύ περίπλοκη είναι η ευθεία των πραγματικών αριθμών, τελικά. Για την ακρίβεια, πάαααρα πολύ περίπλοκη. Όπως είδαμε, οι άρρητοι μεταξύ τους δεν είναι καθόλου όμοιοι, σε αντίθεση με τους αγαπητούς ρητούς που είναι τάλε-κουάλε και ιδιαίτερα απλοί – ή και όχι – στη δομή τους.

Μέχρι την επόμενη στιγμή παραφροσύνης πάνω στην πραγματική ευθεία, καλή συνέχεια!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Ο Claude Monet ζωγραφίζει στον κήπο του στο Argenteuil του Pierre-Auguste Renoir.

Καλό ξημέρωμα και καλό διάβασμα!

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

One comment

Ο/Η Υπeρβάσεις – Aftermaths λέει:

4 Απριλίου 2021 στο 15:45

[…] μία συνοπτική απόδειξη για το ότι ο είναι άρρητος ενώ εδώ είδαμε πως κάποιοι αριθμοί είναι περισσότερο και […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση