Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (2β)

Την προηγούμενη εβδομάδα συζητήσαμε για μία ισοδύναμη μορφή του αξιώματος της πληρότητας. Για την ακρίβεια, συζητήσαμε και αποδείξαμε πώς πέρα από τη συνήθη μορφή του αξιώματος της πληρότητας – κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα – μπορούμε να βρούμε και μία διατύπωση κάπως πιο διαισθητική που να αξιοποιεί ακολουθίες πραγματικών αριθμών – κάθε βασική ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι συγκλίνουσα. Σε αυτό το μέρος της σειράς θα παρουσιάσουμε μία κατασκευή των πραγματικών, ξεκινώντας από τους ρητούς αλλά αυτή τη φορά αξιοποιώντας τη δεύτερη διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας, μέσω ακολουθιών. Για την ακρίβεια, όπως και στο πρώτο μέρος της σειράς, θα ξεκινήσουμε από το σύνολο των ρητών αριθμών και θα κατασκευάσουμε ένα νέο «επεκτεταμένο» σύνολο το οποίο θα ικανοποιεί όλα τα αξιώματα της διάταξης και των πράξεων που ικανοποιούν και οι ρητοί αριθμοί – θα είναι, με άλλα λόγια, ένα ολικά διατεταγμένο σώμα που θα περιέχει τους ρητούς – και, επιπρόσθετα, θα ικανοποιεί και το αξίωμα της πληρότητας. Σαφώς, μία τέτοια κατασκευή έχουμε ήδη δει, μέσω τομών Dedekind. Αυτό που τώρα θα αναζητήσουμε θα είναι μία κατασκευή «συμβατή» με τη νέα διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας, που χρησιμοποιεί την έννοια της βασικής ακολουθίας.

Προπαρασκευή

Πάντα νόμιζα ότι η λέξη προπαρασκευή υποδηλώνει και πριν από την Παρασκευή και απορούσα γιατί δεν τη λέμε απλώς Πέμπτη – αλλά αυτά θα τα αφήσουμε για άλλες αναρτήσεις. Στην περίπτωσή μας, η προπαρασκευή που θα χρειαστεί να κάνουμε πριν προχωρήσουμε στην κατασκευή μας έχει να κάνει με το να εντοπίσουμε την κατάλληλη δομή επί της οποία θα θεμελιώσουμε τους πραγματικούς αριθμούς και θα αποδείξουμε τα αξιώματά τους – και, το κυριότερο, το αξίωμα της πληρότητας.

Βασικά πράγματα…

Δεδομένου ότι θέλουμε να αξιοποιήσουμε την παρακάτω μορφή του αξιώματος της πληρότητας:

Κάθε βασική ακολουθία είναι συγκλίνουσα.

ένα πολύ χρήσιμο σύνολο θα είναι το σύνολο C όλων των βασικών ακολουθιών ρητών αριθμών. Με άλλα λόγια, τα στοιχεία του C είναι ακολουθίες ρητών αριθμών των οποίων οι όροι βρίσκονται οσοδήποτε κοντά επιθυμούμε, από ένα σημείο και μετά. Για παράδειγμα, η ακολουθία x_n=\frac{1}{n} είναι μία ακολουθία του C, όπως, για παράδειγμα, και η y_n=\frac{n^2+4}{3n^2-1}. Αντιθέτως, ακολουθίες όπως οι z_n=n ή u_n=(-1)^n δεν είναι στοιχεία του C, καθώς οι όροι τους δεν συσσωρεύονται αρκετά κοντά από ένα σημείο και μετά.

Θα δούμε αμέσως ότι το σύνολο C δεν είναι καθόλου «ανιαρό», υπό την έννοια ότι μπορούμε με σχετική ευκολία να του προσδώσουμε μία δομή. Για την ακρίβεια, θα ορίσουμε αρχικά μία πρόσθεση μεταξύ των ακολουθιών του C, ως εξής: αν (a_n)_n,(b_n)_n\in C τότε ορίζουμε ως (a_n)_n+(b_n)_n την ακολουθία (a_n+b_n)_n. Εδώ, αρχικά, πρέπει πρώτα να ξεκαθαρίσουμε κάτι για τον συμβολισμό μας, πριν πάμε παρακάτω. Με a_n θα συμβολίζουμε τον n-οστό όρο μιας ακολουθίας (a_n)_n ενώ με (a_n)_n θα συμβολίζουμε την ίδια την ακολουθία, δηλαδή τη συνάρτηση a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}. Έτσι, γράφοντας (a_n)_n+(b_n)_n εννοούμε το άθροισμα των δύο ακολουθιών ενώ με (a_n+b_n)_n αναφερόμαστε στην ακολουθία που ο n-οστός της όρος είναι ίσος με a_n+b_n. Πολλές φορές, στο εξής, θα παραλείπουμε τον δείκτη n και θα γράφουμε (a_n) υποδηλώνοντας και πάλι την ακολουθία (a_n)_n.

Έχοντας ξεκαθαρίσει τα ζητήματα του συμβολισμού, παραπάνω δεν κάναμε τίποτα άλλο από το να πούμε ότι το άθροισμα δύο ακολουθιών είναι μία νέα ακολουθία που έχει ως όρους τα αθροίσματα των όρων των προσθετέων της. Αυτό που οφείλουμε, τώρα, να δείξουμε, είναι ότι μία τέτοια ακολουθία είναι επίσης βασική – δεδομένου ότι οι προσθετέοι είναι βασικές ακολουθίες. Δηλαδή, θα αποδείξουμε το εξής:

Αν (a_n),(b_n)\in C τότε και (a_n+b_n)\in C .

Η απόδειξη του παραπάνω είναι σχετικά απλή – μία μικρή υπενθύμιση του ορισμού μίας βασικής ακολουθίας. Πράγματι, επιλέγουμε μία δεδομένη ακρίβεια \varepsilon>0 και αναζητούμε έναν n_0\in\mathbb{N} τέτοιον ώστε για κάθε n>m\geq n_0 να ισχύει |a_n-a_m|<\varepsilon. Αρχικά, αφού (a_n) βασική έπεται ότι υπάρχει ένας n_1 τέτοιος ώστε |a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2} για κάθε n>m\geq n_1. Ομοίως, υπάρχει κι ένας n_2 τέτοιος ώστε |b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2} για κάθε n>m\geq n_2. Τώρα, παρατηρούμε ότι για κάθε n>n\geq n_0, όπου n_0=\max\{n_1,n_2\} έχουμε:

\displaystyle |(a_n+b_m)-(a_m+b_m)|=|a_n-a_n+b_n-b_m|\leq|a_n-a_m|+|b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

Συνεπώς, η (a_n+b_n) είναι βασική, όπως θέλαμε.

Με ανάλογη διάθεση, ορίζουμε κι ένα γινόμενο μεταξύ των βασικών ακολουθιών, ορίζοντας (a_n)(b_n)=(a_nb_n). Εδώ, για να αποδείξουμε ότι αυτό το γινόμενο είναι καλά ορισμένο, θα ιδρώσουμε λίγο παραπάνω.

Έστω, αρχικά, (a_n),(b_n) δύο βασικές ακολουθίες και μία ακρίβεια \varepsilon>0. Αν n>m τότε παρατηρούμε ότι:

|a_nb_n-a_mb_m|=|a_nb_n-a_nb_m+a_nb_m-a_mb_m|=\leq|a_n||b_n-b_m|+|b_m||a_n-a_m|.

Για να πάμε λίγο παρακάτω, θα αξιοποιήσουμε ένα αποτέλεσμα που είδαμε στο πρώτο μέρος: κάθε βασική ακολουθία είναι φραγμένη. Στην περίπτωσή μας αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν M,N>0 τέτοια ώστε |a_n|\leq M και |b_n|\leq N για κάθε n\in\mathbb{N}. Έτσι, η παραπάνω ανισότητα μπορεί να επεκταθεί ως εξής:

|a_nb_n-a_mb_m|\leq M|b_n-b_m|+N|a_n-a_m|.

Τώρα, αφού η (a_n) είναι βασική, έπεται ότι υπάρχει n_1 τέτοιος ώστε |a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2N} για κάθε n>m\geq n_1 και, ομοίως, υπάρχει n_2 τέτοιος ώστε |b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2M} για κάθε n>m\geq n_2. Έτσι, επιλέγοντας n_0=\max\{n_1,n_2\} έχουμε για κάθε n>m\geq n_0:

\displaystyle|a_nb_n-a_mb_m|\leq M|b_n-b_m|+N|a_n-a_m|<M\frac{\varepsilon}{2M}+N\frac{\varepsilon}{2N}=\varepsilon.

Συνεπώς, η (a_nb_n) είναι βασική.

Πριν προχωρήσουμε, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι ισχύουν οι εξής ιδιότητες για τις πράξεις που ορίσαμε – έπονται άμεσα από τις αντίστοιχες ιδιότητες των πράξεων μεταξύ ρητών αριθμών καθώς και από τον τρόπο που ορίσαμε τις πράξεις στο C:

  • (a_n)+(b_n)=(b_n)+(a_n)
  • (a_n)+((b_n)+(c_n))=((a_n)+(b_n))+(c_n)
  • (a_n)(b_n)=(b_n)(a_n)
  • (a_n)((b_n)(c_n))=((a_n)(b_n))(c_n)
  • (a_n)((b_n)+(c_n))=(a_n)(b_n)+(a_n)(c_n)

Αν, επίσης, ορίσουμε ως (0)=(0)_n – δηλαδή, τη σταθερή μηδενική ακολουθία – και (1)=(1)_n – δηλαδή τη σταθερή ακολουθία που όλοι της οι όροι είναι ίσοι με τη μονάδα – τότε εύκολα παρατηρούμε και τα παρακάτω:

  • (a_n)+(0)=(a_n)
  • (a_n)(1)=(a_n)
  • (a_n)+(-a_n)=(0)

Επίσης, αν (a_n) είναι μία ακολουθία τέτοια ώστε κανένας όρος της να μην είναι μηδέν, τότε ισχύει και το εξής:

  • (a_n)(a_n^{-1})=(1)

Σε αυτό το σημείο αξίζει να σταθούμε, και μάλιστα αρκετά. Αν μπορούσαμε να δείξουμε κάτι σαν το παραπάνω για κάθε ακολουθία (a_n)\neq(0) τότε θα είχαμε προσδώσει στο C τη δομή σώματος, οπότε, προσθέτοντάς του και μία σχέση διάταξης, θα είχαμε έναν καλό υποψήφιο για τη θέση του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει, διότι υπάρχουν, με βάση τους ορισμούς μας, μη μηδενικά στοιχεία που δεν είναι αντιστρέψιμα. Για παράδειγμα, θεωρούμε την ακολουθία a=(1,0,0,\ldots) η οποία είναι μη μηδενική, ωστόσο δεν μπορούμε να βρούμε άλλη ακολουθία b τέτοια ώστε ab=(1). Έτσι, ενώ το C με τα παραπάνω έχει αποκτήσει δομή μεταθετικού δακτυλίου με μονάδα, δεν έχει δομή σώματος – όπως θα θέλαμε – καθώς περιέχει άπειρα στο πλήθος στοιχεία που δεν αντιστρέφονται.

Αυτή ακριβώς η αδυναμία του C μας δείχνει ότι πρέπει να βρούμε έναν καλύτερο υποψήφιο για το σύνολο των πραγματικών αριθμών, όπου για παράδειγμα, ακολουθίες σαν την (1,0,0,\ldots) θα θεωρούνται μηδενικές – και άρα δε θα χρειάζεται να ανησυχούμε για το αν αντιστρέφονται.

Στο όριο…

Πιάνουμε το νήμα από την προηγούμενη ενότητα και αρχίζουμε να αναζητούμε μία καλύτερη δομή για τους πραγματικούς αριθμούς μας. Όπως είδαμε, ένα ζήτημα που εμφανίστηκε είναι ότι ακολουθίες που είναι «σχεδόν μηδενικές» δε θεωρούνται μηδενικές – όπως θα μας εξυπηρετούσε. Επιπρόσθετα, αν πάρουμε, για παράδειγμα, τις ακολουθίας x_n=\frac{1}{n} και y_n=\frac{1}{2n}, παρ’ όλο που αυτές δεν είναι ίσες, θα θέλαμε να θεωρούνται ίσες, κι αυτό διότι, καθώς προχωράμε πολύ «μακριά», παίρνοντας αυθαίρετα μεγάλες τιμές για τον δείκτη n, οι όροι των δύο ακολουθιών έρχονται απεριόριστα κοντά ο ένας στον άλλον. Επειδή, τώρα, εμείς, προτιθέμεθα να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της βασικής ακολουθίας για την κατασκευή μας, είναι λογικό να μας απασχολεί κυρίως τι κάνουν οι ακολουθίες του C καθώς προχωράμε προς το άπειρο, μιας και η έννοια της βασικής ακολουθίας έχει έναν «τελικό» χαρακτήρα. Με άλλα λόγια, ακόμα κι αν δύο ακολουθίες δεν είναι ίσες, αν οι όροι τους «τελικά» έρχονται οσοδήποτε κοντά επιθυμούμε, τότε στα μάτια μας έχει νόημα να είναι «ίσες».

Βάλαμε σε εισαγωγικά το δεύτερο «ίσες», διότι δεν είναι στην πραγματικότητα απαραίτητα ίσες ως ακολουθίες – όρο προς όρο, δηλαδή – αλλά θα φροντίσουμε στο νέο «σύμπαν» που θα κατασκευάσουμε, να είναι ίσες. Γι’ αυτόν τον σκοπό θα χρειαστούμε την έννοια της σχέσης ισοδυναμίας. Πρακτικά, αν A είναι ένα (μη κενό) σύνολο, μία (διμελής) σχέση στο A είναι κάποιο υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου A\times A. Έτσι, για παράδειγμα, μία σχέση στο A=\{1,2,3,4\} θα μπορούσε να είναι η εξής:

s=\{(1,2),(2,3),(4,4),(3,2)\}.

Εντάξει, η παραπάνω σχέση δεν έχει και κάποιο ιδιαίτερο νόημα, τουλάχιστον όχι τόσο προφανές. Ωστόσο, υπάρχουν κάποιες κατηγορίες σχέσεων οι οποίες έχουν μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Μία απ´ο αυτές είναι οι σχέσεις ισοδυναμίας. Ένα υποσύνολο s\subseteq A\times A είναι μία σχέση ισοδυναμίας αν και μόνον αν ισχύουν τα εξής:

  • (a,a)\in s για κάθε a\in A – αυτοπάθεια/ανακλαστικότητα
  • (a,b)\in s\Rightarrow(b,a)\in s – συμμετρία
  • (a,b)\in s και (b,c)\in s\Rightarrow (a,c)\in s – μεταβατικότητα.

Πρακτικά, μία σχέση ισοδυναμίας είναι μία σχέση που, κατά κάποιον τρόπο, γενικεύει την έννοια της ισότητας. Αρχικά, είναι σαφές ότι η ίδια η σχέση της ισότητας – ως ταύτιση δύο αντικειμένων – είναι σχέση ισοδυναμίας, καθώς, αν A είναι ένα μη κενό σύνολο και με = συμβολίζουμε – όπως συνηθίζουμε – το γεγονός ότι δύο αντικείμενα συμπίπτουν, τότε:

  • a=a για κάθε a\in A
  • a=b\Rightarrow b=a
  • a=b και b=c\Rightarrow a=c.

Μάλιστα, η σχέση της ισότητας σε κάθε σύνολο είναι η ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας υπό την έννοια ότι περιέχει τα λιγότερα δυνατά στοιχεία που απαιτούνται για να θεωρηθεί μίας σχέση ως σχέση ισοδυναμίας (απόδειξη;). Αυτό επιβεβαιώνει και την αίσθησή μας ότι, κατά κανόνα, μία σχέση ισοδυναμίας είναι «ένα βήμα παραπέρα» από την έννοια της ισότητας μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου.

Προχωρώντας λίγο στα χωράφια των σχέσεων ισοδυναμίας, συναντάμε μπροστά μας την έννοια της κλάσης ισοδυναμίας. Μία κλάση ισοδυναμίας, [a], ενός στοιχείου a\in A ορίζεται ως εξής:

[a]=\{x\in A:(a,x)\in s\}.

Με άλλα λόγια, η κλάση ισοδυναμίας του a περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία του A που είναι ισοδύναμα με το a. Ας παρατηρήσουμε σε αυτό το σημείο ότι κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι μη κενή, αφού a\in[a] και ότι ισχύει η εξής ενδιαφέρουσα ιδιότητα:

Αν [a],[b] είναι κλάσεις ισοδυναμίας μίας σχέσης ισοδυναμίας s\subseteq A\times A τότε είτε [a]=[b] είτε [a]\cap[b]=\varnothing .

Πρακτικά, το παραπάνω μάς λέει ότι δύο κλάσεις ισοδυναμίας είτε θα ταυτίζονται είτε θα είναι τελείως διαφορετικές – ξένες μεταξύ τους, με τη διάζευξη εδώ να είναι αποκλειστική – δηλαδή, δε γίνεται να συμβαίνουν και τα δύο ταυτόχρονα. Η απόδειξη του παραπάνω είναι σχετικά απλή. Έστω [a],[b] δύο κλάσεις ισοδυναμίας κάποιας σχέσης ισοδυναμίας s. Αν [a]\cap[b]=\varnothing τότε είμαστε στη δεύτερη περίπτωση και δε χρειάζεται να αποδείξουμε κάτι. Αν τώρα, [a]\cap[b]\neq\varnothing τότε υπάρχει κάποιο x\in[a] τέτοιο ώστε x\in[b]. Αυτό σημαίνει ότι (a,x)\in s και (b,x)\in s.

Έστω τώρα y\in[a], οπότε (a,y)\in s. Λόγω συμμετρίας, θα έχουμε και (y,a)\in s, συνεπώς, από τη μεταβατικότητα της s παίρνουμε ότι (y,x)\in s – αφού (y,a),(a,x)\in s. Επίσης, λόγω συμμετρίας, έχουμε ότι (x,b)\in s συνεπώς, από τη μεταβατικότητα της s παίρνουμε ότι (y,b)\in s και, λόγω συμμετρίας, (b,y)\in s άρα y\in[b]. Έτσι, έχουμε αποδείξει ότι [a]\subseteq[b]. Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι [b]\subseteq[a] – εναλλάσουμε τις εμφανίσεις των a,b στα παραπάνω – οπότε και τέλικά έπεται ότι [a]=[b].

Έτσι, ξεκινώντας από ένα σύνολο A και μία σχέση ισοδυναμίας s μπορούμε να πάρουμε ένα άλλο νέο «μικρότερο» σύνολο, αυτό των κλάσεων ισοδυναμίας της s στο A. Το σύνολο αυτό θα το συμβολίζουμε με A/s και θα το ονομάζουμε πηλίκο του A υπό την s ή απλά πηλίκο του A. Συμβολικά, είναι:

A/s=\{[a]:a\in A\}.

Συνοπτικά και πιο διαισθητικά, το A/s είναι πρακτικά το A ιδωμένο όμως με τα «μάτια» της σχέσης s. Δηλαδή, αν δύο στοιχεία είναι ισοδύναμα ως προς τη σχέση s, τότε αυτά τα βλέπουμε ως ένα στοιχείο του συνόλου A/s.

Πριν κλείσουμε αυτό το κομμάτι περί σχέσεων ισοδυναμίας, να πούμε τέλος ότι για μία κλάση ισοδυναμίας [a] κάθε στοιχείο της θα λέγεται και ένας αντιπρόσωπός της. Ο όρος, ουσιαστικά, υποδηλώνει ακριβώς όσα είπαμε παραπάνω περί «γενικευμένης ισότητας»: μία κλάση παριστάνει ένα σύνολο από ισοδύναμα, με κάποια έννοια, στοιχεία, τα οποία όλα μπορούν να «εκπροσωπηθούν» από ένα μόνο από αυτά – αφού είναι όλα μεταξύ τους ισοδύναμα.

Με όλα τα παραπάνω κατά νου, αποζητούμε να ορίσουμε μία «βολική» σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο C των βασικών ακολουθιών ρητών αριθμών. Όπως είπαμε, μας απασχολεί πώς συμπεριφέρονται δύο βασικές ακολουθίες «τελικά» και, για την ακρίβεια, θα θέλαμε να αποτυπώσουμε κάπως την ιδιότητα δύο ακολουθίες «τελικά» να προσεγγίζουν αυθαίρετα πολύ η μία την άλλη. Αυτό μπορεί να εκφραστεί αυστηρά ως εξής:

Θα λέμε ότι δύο ακολουθίες (x_n),(y_n) είναι ισοδύναμες αν για κάθε \varepsilon>0 υπάρχει ένας n_0\in\mathbb{N} τέτοιος ώστε για κάθε n\geq n_0 να ισχύει |x_n-y_n|<\varepsilon.

Το παραπάνω πρακτικά μπορεί συνοπτικά να αποτυπωθεί ως εξής: x_n-y_n\to0. Πράγματι, αυτό που θέλουμε, ουσιαστικά, είναι καθώς «προχωράμε» στους όρους των δύο ακολουθιών, αυτοί να έρχονται απεριόριστα κοντά, δηλαδή η διαφορά τους να είναι οσοδήποτε μικρή επιθυμούμε, από ένα σημείο και μετά και, ως εκ τούτου, να συγκλίνει στο 0. Για συντομία, θα συμβολίσουμε την παραπάνω σχέση με \sim και αντί να γράφουμε ((x_n),(y_n))\in\sim θα γράφουμε (x_n)\sim(y_n) – αυτός ο συμβολισμός θυμίζει περισσότερο, είναι η αλήθεια, την επιδιωκόμενη ιδέα περί ταύτισης ακολουθιών.

Μένει να δείξουμε τώρα ότι πράγματι η \sim είναι μία σχέση ισοδυναμίας στο C. Έχουμε:

  • Αρχικά, (x_n)\sim(x_n) αφού x_n-x_n=0\to0.
  • Έπειτα, αν (x_n)\sim(y_n) τότε x_n-y_n\to0\Rightarrow y_n-x_n\to0 άρα (y_n)\sim(x_n).
  • Τέλος, αν (x_n)\sim(y_n) και (y_n)\sim(z_n) τότε x_n-y_n\to0 και y_n-z_n\to0 και επομένως x_n-z_n=z_n-y_n+y_n-z_n\to0, άρα και (x_n)\sim(z_n).

Ας δούμε τώρα πώς μοιάζει μία κλάση ισοδυναμίας της σχέσης \sim. Για παράδειγμα, η κλάση της μηδενικής ακολουθίας είναι η εξής:

[(0)]=\{(x_n)\in C:x_n\to0\}.

Με άλλα λόγια, η κλάση της μηδενικής ακολουθίας περιέχει όλες τις μηδενικές ακολουθίες. Άρα, με τα «μάτια» της \sim, όλες οι (βασικές) ακολουθίες ρητών που συγκλίνουν στο 0 ταυτίζονται με τη μηδενική ακολουθία. Φαίνεται, λοιπόν, να έχουμε πετύχει τον σκοπό μας και το σύνολο C/\sim να έχει (τουλάχιστον κάποιες από) τις επιθυμητές ιδιότητες που θέλαμε. Μένει να εξετάσουμε αν ικανοποιεί όλα τα αξιώματα των πραγματικών αριθμών.

Αποδεικνύοντας αξιώματα

Έχουμε ξανασχολιάσει ότι ακούγεται παράξενο να λέμε ότι αποδεικνύουμε ένα αξίωμα, αλλά αυτή ακριβώς είναι η δουλειά που πρέπει να κάνουμε όταν αναζητούμε ένα μοντέλο μίας θεωρίας: να αποδείξουμε ότι ικανοποιεί τη θεωρία, δηλαδή τις προτάσεις της. Επομένως, έχουμε να αποδείξουμε 13 μικρές και μεγάλες προτάσεις που αφορούν τα στοιχεία του C/\sim.

Τα απλά αξιώματα

Ξεκινώντας από τα αλγεβρικά αξιώματα του C/\sim, η αλήθεια είναι ότι αυτά έπονται άμεσα από τις αντίστοιχες ιδιότητες των πράξεων στο C, επομένως έχουμε ήδη έτοιμα τα βασικά αξιώματα των πράξεων, πέραν από όσα σχετίζοναι με τον προσθετικό αντίθετο και τον πολλαπλασιαστικό αντίστροφο.

Βασικά, εδώ είπαμε ένα μικρό ψέμα. Θα έχουμε έτοιμα όλα τα παραπάνω με φυσιολογικό τρόπο, αφού πρώτα δείξουμε ότι οι πράξεις στο C/\sim ορίζονται καλά. Αν [(a_n)],[(b_n)]\in C/\sim τότε ορίζουμε τα εξής:

  • [(a_n)]+[(b_n)]=[(a_n+b_n)]
  • [(a_n)][(b_n)]=[(a_nb_n)]

Οι παραπάνω ορισμοί είναι οι πλέον φυσιολογικοί και πράγματι, διατηρούν ακέραιες τις ως τώρα αποδεδειγμένες αλγεβρικές ιδιότητες του C. Ωστόσο, δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε κλάσεις ισοδυναμίας και, ως εκ τούτου, αντιπροσώπους αυτών των κλάσεων, πρέπει να δείξουμε ότι τα αποτελέσματα των πράξεών μας είναι ανεξάρτητα της επιλογής του αντιπροσώπου. Με άλλα λόγια, πρέπει να δείξουμε ότι αν πάρουμε δύο ακολουθίες (a_n) και (a_n') με (a_n')\in[(a_n)] και άλλες δύο ακολουθίες (b_n),(b_n') με (b_n')\in[(b_n)] τότε [(a_n+b_n)]=[(a_n'+b_n')].

Πράγματι, αφού (a_n')\in[(a_n)] έπεται ότι a_n'-a_n\to0 και αναλόγως b_n'-b_n\to0. Προσθέτοντας κατά μέλη – θεωρούμε γνωστές τις βασικές αλγεβρικές ιδιότητες των ορίων, αν και εδώ το ζητούμενο είναι σχετικά προφανές – παίρνουμε:

a_n'+b_n'-(a_n+b_n)\to0\Leftrightarrow (a_n'+b_n')\in[(a_n+b_n)]\Leftrightarrow[(a_n'+b_n')]=[(a_n+b_n)].

Έτσι, πράγματι, η πρόσθεση που ορίσαμε στο C/\sim είναι καλώς ορισμένη.

Για το γινόμενο τώρα, θέλουμε να δείξουμε ότι [a_nb_n]=[a_n'b_n'] ή, ισοδύναμα, ότι a_nb_n-a_n'b_n'\to0. Αυτό είναι άμεσο αν παρατηρήσουμε ότι:

a_nb_n-a_n'b_n'=a_nb_n-a_nb_n'+a_nb_n'-a_n'b_n'=a_n(b_n-b_n')+b_n'(a_n-a_n').

Τέλος, ας παρατηρήσουμε τώρα ότι οι (a_n),(b_n') είναι φραγμένες, ως βασικές, επομένως υπάρχουν M,N>0 με |a_n|\leq M και |b_n'|\leq N και έχουμε:

\begin{aligned}|a_nb_n-a_n'b_n'|&=|a_n(b_n-b_n')+b_n'(a_n-a_n')|\\&\leq|a_n||b_n-b_n'|+|b_n'||a_n-a_n'|\\&\leq M|b_n-b_n'|+N|a_n-a_n'|\to0,\end{aligned}

συνεπώς και a_nb_n-a_n'b_n'\to0 όπως θέλαμε.

Άμεσα τώρα παίρνουμε όλες τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού που είχαμε αποδείξει και στο C, οπότε μένει να δείξουμε ότι κάθε μη μηδενική κλάση έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο. Με άλλα λόγια, πρέπει να δείξουμε ότι αν [(a_n)]\neq0 τότε υπάρχει μία άλλη κλάση [(b_n)]\in C/\sim τέτοια ώστε [(a_n)][(b_n)]=[(1)]. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε μία ακολουθία (b_n)\in C έτσι ώστε a_nb_n-1\to0.

Ας δούμε πρώτα τι πάει να πει ότι η κλάση [(a_n)] είναι μη μηδενική. Όπως είδαμε και παραπάνω, δύο κλάσεις είτε συμπίπτουν είτε είναι ξένες, επομένως, σε πρώτη φάση, έχουμε [(a_n)]\cap[(0)]=\varnothing ή, ισοδύναμα, (a_n)\not\in[(0)]. Αυτό σημαίνει ότι a_n\not\to0. Σε αυτό το σημείο πρέπει να παρατηρήσουμε προσεκτικά την άρνηση του ορισμού της σύγκλισης. Το ότι a_n\not\to0 σημαίνει ότι υπάρχει κάποιο (σταθερό) \varepsilon_0>0 έτσι ώστε για κάθε n να υπάρχει κάποιο m\geq n έτσι ώστε |a_m|\geq\varepsilon_0. Με άλλα λόγια, υπάρχει μία ακρίβεια \varepsilon_0 από την οποία και «κάτω» δεν μπορούμε να πέσουμε «τελικά». Ακόμα καλύτερα, μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο:

A(\varepsilon_0)=\{k:|a_k|\geq\varepsilon_0\}

είναι άπειρο – δηλαδή, όσο «προχωράμε» στους όρους της ακολουθίας, συνεχώς θα συναντάμε και κάποιον όρο που θα ξεφεύγει περισσότερο από \varepsilon_0 μακριά από το 0. Τώρα, διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι τελικά όλη η ακολουθία μας θα «ξεφεύγει» από το 0 καθώς οι όροι της «τελικά» συσσωρεύονται κοντά ο ένας στον άλλον – μην ξεχνάμε ότι ασχολούμαστε μόνο με βασικές ακολουθίες. Πιο αυστήρα, υπάρχει ένα n_0 τέτοιο ώστε για κάθε n>m\geq n_0 να ισχύει |a_n-a_m|<\frac{\varepsilon_0}{2}. Τώρα, μπορούμε να βρούμε έναν όρο a_k με k\geq n_0 έτσι ώστε |a_k|\geq\varepsilon_0. Τότε, για κάθε n>k ισχύει

\displaystyle|a_n|=|a_n-a_k+a_k|\geq||a_n-a_k|-|a_k||=|a_k|-|a_n-a_k|>\varepsilon_0-\frac{\varepsilon_0}{2}=\frac{\varepsilon_0}{2}.

Δηλαδή, για n>k όλοι οι όροι είναι μακριά από το 0 τουλάχιστον κατά \frac{\varepsilon_0}{2}. Έτσι, μπορούμε με ασφάλεια να ορίσουμε την ακολουθία:

b_n=\left\{\begin{array}{ll}0&n\leq k\\a_n^{-1}&n>k\end{array}\right.

Η παραπάνω ακολουθία μπορούμε να δείξουμε ότι είναι βασική, αφού για κάθε n>m>k ισχύει:

\begin{aligned}|b_n-b_m|&=\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_m}\right|=\\&=\left|\frac{a_m-a_n}{a_na_m}\right|=\\&=\frac{|a_n-a_m|}{|a_na_m|}\end{aligned}

Εδώ παρατηρούμε ότι |a_n|>\frac{\varepsilon_0}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{|a_n|}<\frac{2}{\varepsilon_0} για κάθε n>k και άρα \frac{1}{|a_na_m|}<\frac{4}{\varepsilon_0^2}, συνεπώς:

|b_n-b_m|=\frac{|a_n-a_m|}{|a_na_m|}<\frac{4|a_n-a_m|}{\varepsilon_0^2}\to0,

διότι η (a_n) είναι βασική, άρα και η (b_n) είναι βασική και μάλιστα a_nb_n=1 για κάθε n>k. Από εδώ έπεται άμεσα ότι a_nb_n-1\to0, όπως θέλαμε.

Ουφ! Ξεμπερδέψαμε με τα αλγεβρικά αξιώματα στο C/\sim. Προχωράμε αισίως στα αξιώματα της διάταξης. Βασικά, τα αξιώματα καθεαυτά είναι εύκολο να αποδειχθούν – και άρα δε θα τα αποδείξουμε – αρκεί να ορίσουμε προσεκτικά τη σχέση διάταξης μεταξύ κλάσεων ισοδυναμίας του C/\sim. Πριν προχωρήσουμε, κι επειδή έχει γίνει ήδη κουραστικό, να πούμε ότι αντί για [(a_n)] θα γράφουμε [a_n] για να αναπαραστήσουμε την αντίστοιχη κλάση ισοδυναμίας – κουραστική, βλέπετε, η δακτυλογράφηση. Έστω, λοιπόν, δύο κλάσεις [a_n],[b_n]\in C/\sim. Θα λέμε ότι [a_n]<[b_n] αν και μόνον αν υπάρχει κάποιος \varepsilon>0 και κάποιος n_0 τέτοιος ώστε a_n<b_n-\varepsilon για κάθε n\geq n_0.

Η διαίσθηση πίσω από αυτόν τον ορισμό είναι σχετικά προφανής, πέρα ίσως από αυτό το \varepsilon>0 – του οποίου η χρησιμότητα θα φανεί αμέσως. Αφού τόσην ώρα μας απασχολεί η «τελική» συμπεριφορά μίας ακολουθίας, το ίδιο κάνουμε και με την πολυπόθητη σχέση διάταξης που ορίζουμε: κοιτάμε τι συμβαίνει «στο τέλος». Μένει, όπως και με τις πράξεις, να δείξουμε ότι η εν λόγω σχέση είναι καλώς ορισμένη. Έστω, λοιπόν [a_n],[b_n] με [a_n]<[b_n] κι έστω και άλλες δύο ακολουθίες (a_n')\in[a_n] και (b_n')\in[b_n], οπότε a_n'-a_n\to0 και b_n'-b_n\to0. Επίσης, αφού [a_n]<[b_n], υπάρχουν \varepsilon>0 και n_1 τέτοια ώστε a_n<b_n-\varepsilon για κάθε n\geq n_1. Τώρα, για το εν λόγω \varepsilon υπάρχουν n_2,n_3 έτσι ώστε:

  • |a_n'-a_n|<\frac{\varepsilon}{4}\Rightarrow a_n'<a_n+\frac{\varepsilon}{4} για κάθε n\geq n_2
  • |b_n'-b_n|<\frac{\varepsilon}{4}\Rightarrow b_n<b_n'+frac{\varepsilon}{4} για κάθε n\geq n_3

Τώρα, για n_0=\max\{n_1,n_2,n_3\} έχουμε:

\displaystyle a_n'<a_n+\frac{\varepsilon}{4}<b_n-\varepsilon+\frac{\varepsilon}{4}<b_n'+\frac{\varepsilon}{4}-\varepsilon+\frac{\varepsilon}{4}=b_n'-\frac{\varepsilon}{2},

για κάθε n\geq n_0. Συνεπώς [a_n']<[b_n'] και άρα η σχέση διάταξης που ορίσαμε είναι καλώς ορισμένη.

Ενδεικτικά, κι επειδή έχει κάποιο ενδιαφέρον, θα αποδείξουμε και το αξίωμα της τριχοτομίας των πραγματικών αριθμών, δηλαδή ότι για κάθε κλάση [a_n] ισχύει ακριβώς ένα από τα τρία:

  • [a_n]=[0]
  • [a_n]<[0]
  • [0]<[a_n]

Ας πάρουμε λοιπόν μίας κλάση [a_n]\neq[0] και ας δείξουμε ότι ισχύει ακριβώς μία από τις άλλες δύο περιπτώσεις. Όπως είδαμε και παραπάνω, το γεγονός ότι [a_n]\neq[0] σε συνδυασμό με το ότι μιλάμε για βασικές ακολουθίες μας δίνει |a_n|>\delta για κάποιο \delta>0 και για κάθε n\geq n_0 – μην ψάχνετε για \delta στα προηγούμενα, εκεί το είχαμε ονομάσει \frac{\varepsilon_0}{2}, απλά τώρα το ονομάσαμε \delta για συντομία. Το παραπάνω σημαίνει ότι για κάθε n\geq n_0 έχουμε a_n>\delta ή a_n<-\delta. Δηλαδή, όλοι οι όροι της ακολουθίας από ένα σημείο και μετά ζουν στο σύνολο (-\infty,-\delta)\cup(\delta,+\infty).

Επειδή, όμως, η ακολουθία είναι βασική, τελικά οι όροι της θα συσσωρεύονται οσοδήποτε κοντά θέλουμε ο ένας στον άλλον. Ας θελήσουμε λοιπόν να βρίσκονται \delta κοντά, οπότε από ένα σημείο και μετά όλοι οι όροι θα απέχουν το πολύ \delta. Αυτό σημαίνει ότι «τελικά» όλοι οι όροι θα βρίσκονται είτε στο (\delta,+\infty) είτε στο (-\infty,-\delta), δεδομένου ότι τα δύο σύνολα βρίσκονται τουλάχιστον 2\delta μακριά. Δηλαδή, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα N έτσι ώστε για κάθε n\geq N να ισχύει a_n>\delta – χωρίς βλάβη της γενικότητας. Συνεπώς, έχουμε 0<a_n-\delta για κάθε n\geq N και άρα, από τα παραπάνω έχουμε [0]<[a_n]. Ομοίως και αν a_n<-\delta για κάθε n\geq N.

Τα υπολειπόμενα αξιώματα της διάταξης αποδεικνύονται με παρόμοια τεχνάσματα – μαντέψτε, αφήνονται ως άσκηση.

Το αξίωμα της πληρότητας

Ως τώρα, το σύνολο C/\sim είναι ένα ωραίο ολικά διατεταγμένο σώμα. Τώρα μένει να δείξουμε ότι είναι πλήρες. Η αλήθεια είναι ότι, παρ’ όλο που δουλεύουμε με βασικές ακολουθίες, η διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας που θα αποδείξουμε θα είναι η συνήθης. Αυτό θα γίνει διότι απαιτεί πράγματι τον λιγότερο κόπο, πράγμα που ίσως να φαίνεται λίγο παράξενο, δεδομένου ότι η κατασκευή μας δείχνει πιο συμβατή με τη δεύτερη διατύπωσή του, που αξιοποιεί κι αυτή βασικές ακολουθίες, παρά με την πρώτη.

Έστω, λοιπόν, A ένα μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο του C/\sim. Η πρόθεσή μας είναι να δείξουμε ότι αυτό έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, δηλαδή, στα πλαίσια της κατασκευής που έχουμε κάνει, ότι υπάρχει μία κλάση [a_n] η οποία να είναι μεγαλύτερη ή ίση από όλες τις κλάσεις του A και μικρότερη από κάθε άνω φράγμα του. Πρακτικά, αρκεί να κατασκευάσουμε μία (βασική) ακολουθία ρητών της οποίας η κλάση να έχει αυτήν την ιδιότητα. Θεωρούμε λοιπόν μία κλάση [x_n]\in A και ένα άνω φράγμα του A, έστω [y_n] – αμφότερα υπάρχουν από τις υποθέσεις μας. Θεωρούμε επίσης δύο ρητούς αριθμούς a,b\in\mathbb{Q} τέτοιους ώστε a<\min\{x_n:n\in\mathbb{N}\} και b>\max\{y_n:n\in\mathbb{N}\} – υπάρχουν επειδή οι (a_n),(b_n) είναι φραγμένες ενώ οι ρητοί όχι (από καμία μεριά).

Τώρα, με έναν τρόπο που μιμείται τη μία κατεύθυνσης της απόδειξης της ισοδυναμίας των δύο διατυπώσεων του αξιώματος της πληρότητας – δείτε εδώ -, ορίζουμε δύο ακολουθίες ρητών ως εξής:

  • Αρχικά, θέτουμε a_1=a και b_1=b.
  • Έπειτα, θεωρούμε τον αριθμό c_1=\frac{a_1+b_1}{2} και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
    • αν η [c_1] – δηλαδή η κλάση της σταθερής ακολουθίας (c_1) – είναι ένα άνω φράγμα του A θέτουμε a_2=a_1 και b_2=c_1 ενώ,
    • αν η [c_1] δεν είναι άνω φράγμα του A τότε θέτουμε a_2=c_1 και b_2=b_1.
  • Σε κάθε βήμα θα έχουμε δύο ρητούς στα χέρια μας, a_n,b_n, έτσι ώστε η [(a_n)_m] να μην είναι άνω φράγμα του A και η [(b_n)_m] να είναι άνω φράγμα του. Επιλέγουμε τον c_n=\frac{a_n+b_n}{2} και αν η [(c_n)_m] είναι άνω φράγμα, θέτουμε a_{n+1}=a_n και b_{n+1}=c_n. Αν δεν είναι, θέτουμε a_{n+1}=c_n και b_{n+1}=b_n.

Προσέξτε τον συμβολισμό [(c_n)_m]. Αυτό που εννοείται είναι ότι θεωρούμε την κλάση της σταθερής ακολουθίας που όλοι οι όροι της είναι σταθερά c_n. Για να το δείξουμε αυτό, χρησιμοποιούμε ως δείκτη της ακολουθίας κάτι απλώς διαφορετικό από το n.

Έτσι, κατασκευάζουμε δύο ακολουθίες ρητών a_n,b_n τέτοιες ώστε:

  • Οι [(a_n)_m] να μην είναι άνω φράγματα του A για κάθε n\in\mathbb{N}.
  • Οι [(b_n)_m] να είναι άνω φράγματα του A για κάθε n\in\mathbb{N}.
  • a_1\leq a_2\leq\dots\leq b_2\leq b_1
  • a_n\leq b_n
  • \displaystyle|b_n-a_n|=\frac{|b_{n-1}-a_{n-1}|}{2}=\dots=\frac{|b-a|}{2^n}.

Από την τελευταία σχέση έπεται άμεσα ότι και οι δύο ακολουθίες είναι βασικές και ότι b_n-a_n\to0 συνεπώς, αφενός μπορούμε να μιλήσουμε για τις κλάσεις τους, έστω [a_n] και [b_n], αφετέρου, οι κλάσεις αυτές είναι ίσες, δηλαδή [a_n]=[b_n]. Εδώ, προς αποφυγή σύγχυσης, εννοούνται οι κλάσεις των εν γένει μη σταθερών ακολουθιών (a_n)_n,(b_n)_n και όχι οι κλάσεις των σταθερών ακολουθιών που είχαμε προηγουμένως – προσέξτε εδώ ότι έχουμε και στις δύο περιπτώσεις τον ίδιο δείκτη.

Από εδώ δεν έχουμε να κάνουμε και πολλά μη τετριμμένα πράγματα που δεν είδαμε και στο πρώτο σκέλος αυτού του μέρους. Για την ακρίβεια, οι [(b_n)_m] είναι όλες άνω φράγματα του A, συνεπώς και το όριό τους θα είναι άνω φράγμα του A. Ωστόσο, επειδή για κάθε [(a_n)_m] υπάρχει κάποιο στοιχείο [x_k]\in A τέτοιο ώστε [(a_n)_m]\leq[x_k]. Από εδώ έπεται άμεσα ότι δεν υπάρχει άνω φράγμα του A μικρότερο του [a_n], οπότε και το [a_n]=[b_n] είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του A, δηλαδή το \sup A. Έτσι, αποδείξαμε το αξίωμα της πληρότητας!

Επίλογος

Αισίως, καταφέραμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιώντας βασικές ακολουθίες ρητών αριθμών το οποίο να έχει όλες τις επιθυμητές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών – ένα πλήρες ολικά διατεταγμένο σώμα. Κεντρικό ρόλο σε αυτήν την κατασκευή, σε αντίθεση με αυτήν που χρησιμοποιούσε τομές Dedekind ήταν ότι εδώ χρειαστήκαμε μία έννοια ισοδυναμίας μεταξύ ακολουθιών έτσι ώστε να εμπλουτίσουμε την αλγεβρική δομή του συνόλου C των βασικών ακουλουθιών ρητών αριθμών.

Στο επόμενο μέρος της σειράς, θα ασχοληθούμε, ξανά, με κάποιες ιδέες του Cantor για την κατασκευή των πραγματικών αριθμών μέσω των ρητών.

Μέχρι τότε, καλημέρα!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Η Απία Οδός στο ηλιοβασίλεμα του Alexander Ivanov.

Διαβάστε επίσης: Μία γνωστή σχέση…

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

3 comments

  1. […] Έχουμε δει στο παρελθόν δύο τρόπους με τους οποίους μπορεί να διατυπώσει κανείς το αξίωμα της πληρότητας καθώς και δύο κατασκευές των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς «εμπνευσμένες» από αυτές τις διατυπώσεις. Για την ακρίβεια, έχουμε δει αφενός μία διατύπωση ιδιαίτερα λιτή ως προς τα εκφραστικά μέσα και τις έννοιες που χρησιμοποιεί, μέσω της οποίας μπορεί κανείς να κατασκευάσει τους πραγματικούς αριθμούς ως τομές Dedekind ρητών αριθμών – για περισσότερα δείτε εδώ. Αφετέρου, έχουμε δει μία πιο αναλυτική διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας που χρησιμοποιεί βασικές ακολουθίες πραγματικών αριθμών και μας οδηγεί φυσιολογικά σε μία κατασκευή των πραγματικών αριθμών μέσα από βασικές ακολουθίες ρητών αριθμών – για περισσότερα, δείτε εδώ και εδώ. […]

    Μου αρέσει!

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s