Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (2α)

Στο πρώτο μέρος της σειράς μιλήσαμε για την πλέον συνηθισμένη περιγραφή του αξιώματος της πληρότητας, αυτή που χρησιμοποιεί ελάχιστα άνω φράγματα. Για την ακρίβεια, ένας τρόπος να διατυπώσουμε ότι η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν έχει κενά είναι ο εξής:

Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα.

Αυτό, με σύμβολα, σημαίνει ότι αν έχουμε ένα υποσύνολο $A$ των πραγματικών αριθμών το οποίο δεν περιέχει αυθαίρετα μεγάλους αριθμούς – και είναι, σαφώς, μη κενό – τότε υπάρχει το $\sup A$ , ένας πραγματικός αριθμός, δηλαδή, ο οποίος είναι μεγαλύτερος ή ίσος από κάθε στοιχείο του $A$ και ταυτόχρονα ο μικρότερος που έχει αυτήν την ιδιότητα. Όπως έχουμε δει, το αξίωμα της πληρότητας μας εξασφαλίζει την ύπαρξη όλων των «απαραίτητων» πραγματικών αριθμών, πράγμα που μπορεί να φωτιστεί μέσα από την κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς με τομές Dedekind.

Ωστόσο, η παραπάνω διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας έχει ένα βασικό ελάττωμα: είναι αρκετά τεχνική. Πράγματι, διαβάζοντάς την κανείς με την πρώτη, δεν καταλαβαίνει πώς αυτή η ύπαρξη των ελαχίστων άνω φραγμάτων εξασφαλίζει την πολυπόθητη πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Άλλωστε, ο λόγος για τον οποίον κρατάμε ως βασική διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας την παραπάνω δεν είναι η «φιλικότητα» προς τον καταναλωτή, αλλά ο μινιμαλισμός ως προςτα εκφραστικά μέσα. Διότι, στην παραπάνω διατύπωση με τα suprema – ο πληθυντικός του supremum – , δε χρειαζόμαστε καμία ιδιαίτερη έννοια πέρα από αυτή του ίδιου του supremum, δεδομένου ότι η έννοια του συνόλου θεωρείται απαραίτητη και δεδομένη ούτως ή άλλως.

Μινιμαλισμός vs Διαίσθηση

Όπως όμως θυσιάσαμε την άνεση και τη διαίσθησή μας για χάρη του μινιμαλισμού και του φορμαλισμού – πράγμα πολύ συνηθισμένο στα μαθηματικά – έτσι μπορούμε να κάνουμε και το αντίστροφο και να διατυπώσουμε το αξίωμα της πληρότητας χρησιμοποιώντας και αρκετά πιο διαισθητικούς τρόπους, θυσιάζοντας όμως τον μινιμαλισμό της παραπάνω έκφρασης με suprema. Μία τέτοια, αρκετά συνηθισμένη, μάλιστα, είναι η εξής:

Κάθε βασική ακολουθία πραγματικών αριθμών συγκλίνει.

Ώπα, εδώ έχουμε έναν σωρό άγνωστες έννοιες – η απώλεια του μινιμαλισμού, που λέγαμε. Αρχής γενομένης, μία ακολουθία είναι – όπως έχουμε ξαναδεί – μία πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή ένα στοιχείο του $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ – αν δεν αναγνωρίζετε τον συμβολισμό, μπορείτε να φρεσκάρετε τη μνήμη σας εδώ. Τώρα, λέμε ότι μία ακολουθία πραγματικών αριθμών, $a_n$ , συγκλίνει σε κάποιον αριθμό $a\in\mathbb{R}$ αν ισχύει το εξής:

Για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $n_0\in\mathbb{N}$ τέτοιος ώστε για κάθε $n\geq n_0$ να ισχύει $|a_n-a|<\varepsilon$ .

Με άλλα λόγια, λέμε ότι μία ακολουθία $a_n$ συγκλίνει στο $a\in\mathbb{R}$ – πράγμα που συμβολίζουμε $a_n\to a$ – αν για οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια $\varepsilon>0$ μπορούμε να βρούμε έναν δείκτη $n_0$ από τον οποίον και μετά όλοι οι όροι της ακολουθίας να είναι πιο κοντά στο $a$ από την ακρίβεια $\varepsilon$ . Απλούστερα και συνοπτικότερα, λέμε ότι $a_n\to a$ αν οι όροι της ακολουθίας συσσωρεύονται οσοδήποτε κοντά στο $a$ θέλουμε από κάποιον όρο και μετά. Θα λέμε, επίσης, ότι μία ακολουθία $a_n$ είναι συγκλίνουσα αν υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός $a\in\mathbb{R}$ τέτοιος ώστε $a_n\to a$ .

Δύο σημαντικές ιδιότητες της σύγκλισης είναι ότι αν μία ακολουθία συγκλίνει σε έναν αριθμό τότε αυτός είναι μοναδικός – έπεται άμεσα με απαγωγή σε άτοπο – και ότι αν $a_n\geq x$ για κάποιον $x\in\mathbb{R}$ και $a_n\to a$ τότε και $a\geq x$ – έπεται επίσης άμεσα με απαγωγή σε άτοπο. Και τις δύο αυτές ιδιότητες θα τις αξιοποιήσουμε κατά κόρον στα επόμενα.

Μένει τώρα να εξηγήσουμε ποιες ακολουθίες λέμε βασικές – εναλλακτική ονομασία για να μην παραπέμπει σε slang ορολογία είναι ο όρος ακολουθία Cauchy. Μία ακολουθία $a_n$ θα τη λέμε βασική ή Cauchy αν ισχύει το εξής:

Για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει ένας $n_0\in\mathbb{N}$ τέτοιος ώστε για κάθε $n>m\geq n_0$ να ισχύει $|a_n-a_m|<\varepsilon$ .

Η ιδέα πίσω από την έννοια της βασικής ακολουθίας είναι ότι αντί να απαιτούμε όλοι οι όροι της ακολουθίας να συσσωρεύονται γύρω από έναν συγκεκριμένο αριθμό, απαιτούμε αυτοί να βρίσκονται οσοδήποτε κοντά θέλουμε ο ένας στον άλλον από κάποιον όρο κι έπειτα.

Εύλογα, μπορεί να αναρωτηθεί κανείς, «Ε, ωραία, αν δηλαδή βρίσκονται τελικά οσοδήποτε κοντά ο ένας στον άλλον, δε θα βρίσκονται και οσοδήποτε κοντά σε κάποιον αριθμό;» Απάντηση σε αυτό το πολύ λογικό ερώτημα θα δώσουμε παρακάτω. Προς το παρόν, λακωνικά θα πούμε «Εξαρτάται». Ας παρατηρήσουμε, ωστόσο, ότι η αντίστροφη συνεπαγωγή ισχύει πάντοτε. Δηλαδή, αν μία ακολουθία συγκλίνει, τότε είναι και βασική – ανεξάρτητα από το αν ισχύει ή όχι το αξίωμα της πληρότητας.

Πράγματι, αν $a_n\to a$ και $\varepsilon>0$ είναι μία επιθυμητή ακρίβεια, τότε θα υπάρχει ένα $n_0$ έτσι ώστε για κάθε $n\geq n_0$ να ισχύει:

$|a_n-a|<\dfrac{\varepsilon}{2}.$

Με άλλα λόγια, οι όροι της $a_n$ από κάποιο σημείο και μετά θα βρίσκονται κοντά στο $a$ με ακρίβεια διπλάσια της επιθυμητής – δεν είναι τυπογραφικό το «διπλάσια», αν το καλοσκεφτείτε. Τώρα, από την τριγωνική ανισότητα, για $n>m\geq n_0$ έχουμε:

$|a_n-a_m|=|a_n-a+a-a_m|\leq|a_n-a|+|a-a_m|\leq\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$

Επομένως, από τον ορισμό που δώσαμε έπεται ότι η $a_n$ είναι βασική.

Πίσω στο θέμα μας, τώρα, πριν αποδείξουμε ότι η παραπάνω διατύπωση είναι ισοδύναμη με το αξίωμα της πληρότητας, καλό θα ήταν να απαντήσουμε στο ερώτημα που θέσαμε παραπάνω: «Γιατί δεν είναι κάθε βασική ακολουθία συγκλίνουσα;». Εδώ, θα πρέπει αρχικά να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα. Αν μιλάμε για ακολουθίες πραγματικών αριθμών, τότε, όπως θα δείξουμε, το να είναι μία ακολουθία βασική ισοδυναμεί με το να είναι συγκλίνουσα και, μάλιστα, αυτή η ισοδυναμία ισοδυναμεί με το αξίωμα της πληρότητας. Μία καταλληλότερη μορφή της παραπάνω ερώτησης, λοιπόν, θα ήταν: «Γιατί δεν είναι κάθε ακολουθία ρητών αριθμών συγκλίνουσα σε κάποιον ρητό;».

Πράγματι, εφόσον προτιθέμεθα να αποδείξουμε ότι η ισοδυναμία «μία ακολουθία είναι βασική αν και μόνο αν είναι συγκλίνουσα» χαρακτηρίζει τους πραγματικούς αριθμούς, υπό την έννοια ότι ισοδυναμεί με την πληρότητά τους, έχει νόημα να αναρωτηθούμε για «ασθενέστερα» σύνολα αριθμών αν αυτό ισχύει ή όχι – η απάντηση, εκ των υστέρων, είναι σαφώς αρνητική.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την ακολουθία ρητών αριθμών που ορίζεται ως εξής:

$a_0=1, a_1=1.4,\ a_2=1.41,\ a_3=1.414, a_4=1.4142,\ldots$

Ακριβέστερα, ο όρος $a_k$ αποτελείται από το δεκαδικό ανάπτυγμα του $\sqrt{2}$ περικεκομμένο στο $k-$ οστό δεκαδικό ψηφίο. Σαφώς, οι όροι της παραπάνω ακολουθίας είναι όλοι τους ρητοί ενώ η ακολουθία δε συγκλίνει σε κάποιον ρητό αριθμό. Επομένως, μένει να δείξουμε ότι είναι βασική, δηλαδή ότι οι όροι της συσσωρεύονται οσοδήποτε κοντά θέλουμε από ένα σημείο και μετά. Αρχικά, παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle |a_k-a_{k+1}|<\frac{1}{10^k},$

δηλαδή οι όροι $a_k$ και $a_{k+1}$ δεν απέχουν περισσότερο από $10^{-k}$ και αυτό διότι ο όρος $a_{k+1}$ προκύπτει από τον $a_k$ συναρμόζοντας ένα δεκαδικό ψηφίο στο τέλος του δεκαδικού αναπτύγματος του $a_k$ . Έτσι, αν $n>m$ έχουμε:

$\begin{aligned}|a_n-a_m|&=|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-2}-\dots-a_{m+1}+a_{m+1}-a_m|\\&\leq|a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\dots+|a_{m+1}-a_m|\\&<10^{-n+1}+10^{-n+2}+\dots+10^{-m}=\\&=10^{-m}(1+10^{-1}+10^{-2}+\dots+10^{-n+m+1})=\\&=10^{-m}\frac{1-10^{-n+m+2}}{1-10^{-1}}\\&<10^{-m}\frac{10}{9}=\\&=\frac{10^{-m+1}}{9}.\end{aligned}$

Δηλαδή, δύο οποιοιδήποτε όροι της $a_k$ απέχουν απόσταση η οποία τελικά φθίνει προς το $0,$ συνεπώς έχουμε άμεσα ότι η $a_k$ είναι βασική.

Συνεπώς, βρήκαμε μία ακολουθία ρητών η οποία, ενώ είναι βασική, δε συγκλίνει σε κάποιον ρητό και επομένως η παραπάνω ισοδυναμία βασικότητας και σύγκλισης δεν χαρακτηρίζει τους ρητούς. Το παραπάνω, μάλιστα, φωτίζει και το πρόβλημα που υπάρχει με τους ρητούς: ενώ η $a_k$ είναι βασική, οι όροι της συσσωρεύονται γύρω από μία «τρύπα» του συνόλου των ρητών αριθμών, με αποτέλεσμα να μη συγκλίνει τελικά η ακολουθία. Αν, λοιπόν, «γεμίσουμε» αυτήν την «τρύπα», τότε θα έχουμε ένα πλήρες σύνολο – στην προκειμένη, αυτό των πραγματικών αριθμών.

Πριν συνεχίσουμε να πούμε ότι η παραπάνω ακολουθία ίσως από άποψη θεμελίωσης δεν είναι και η καταλληλότερη, καθώς απαιτεί να αποδείξουμε πρώτα ότι κάθε πραγματικός αριθμός έχει δεκαδικό ανάπτυγμα, ωστόσο ήταν από τις πλέον κατάλληλες επιλογές σε ό,τι έχει να κάνει με τη σαφήνεια του παραδείγματός μας.

Ακολουθίες vs supremum

Ίσως διαισθητικά να έχουμε πεισθεί για την ισοδυναμία της παραπάνω διατύπωσης του αξιώματος της πληρότητας με αυτήν που είδαμε στο πρώτο μέρος της σειράς, ωστόσο δε μπορούμε να αφήσουμε κάτι τόσο βαρυσήμαντο στον αέρα, άνευ απόδειξης. Ειδικότερα, θα αποδείξουμε ότι δεδομένων των άλλων αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών, υποθέτοντας ότι ισχύει μία από τις δύο μορφές του αξιώματος της πληρότητας, τότε άμεσα ισχύει και η άλλη. Έτσι έχουμε να αποδείξουμε, επί της ουσίας, δύο μικρά – ή και μεγάλα – θεωρήματα.

Από supremum προς ακολουθίες

Αρχικά, θα υποθέσουμε ότι ισχύει η συνήθης διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας – δηλαδή ότι κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών έχει ελάχιστο άνω φράγμα – και θα αποδείξουμε ότι κάθε βασική ακολουθία συγκλίνει. Έστω, λοιπόν, μία βασική ακολουθία $a_k$ . Για να δείξουμε ότι συγκλίνει πρέπει, σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε παραπάνω, να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός τον οποίον οι όροι της να προσεγγίζουν οσοδήποτε πολύ θέλουμε. Ε, και πού θα τον βρούμε αυτόν τον αριθμό; Τα νύχια μας θα μυρίσουμε;

Πριν εντοπίσουμε το όριο της $a_k$ θα χρειαστεί να αποδείξουμε πρώτα κάποια άλλα, «μικρότερα», αποτελέσματα. Για την ακρίβεια, θα ξεκινήσουμε με το εξής:

Κάθε βασική ακολουθία είναι φραγμένη.

Με άλλα λόγια, αν $a_k$ είναι μία βασική ακολουθία, τότε υπάρχει ένας αριθμός $M>0$ τέτοιος ώστε $|a_k|\leq M$ για κάθε $k\in\mathbb{N}$ . Αυτό είναι σχετικά εύκολο να το αποδείξουμε και διαισθητικά προφανές αφού οι όροι της ακολουθίας τελικά θα «μαζεύονται» κοντά ο ένας στον άλλο – άρα, δεν μπορούν, π.χ. να «απλωθούν» πάνω στην ευθεία των αριθμών. Για την ακρίβεια, από τον ορισμό μίας βασικής ακολουθίας έχουμε ότι υπάρχει κάποιος $n_0$ από τον οποίο και μετά όλοι οι όροι είναι κοντά τουλάχιστον κατά μία μονάδα, δηλαδή για κάθε $n>m\geq n_0$ ισχύει $|a_n-a_m|<1$ . Ειδικότερα, για $m=n_0$ ισχύει ότι $|a_n-a_{n_0}|<1$ , επομένως έχουμε και:

$|a_n|=|a_n-a_{n_0}+a_{n_0}|\leq|a_n-a_{n_0}|+|a_{n_0}|<1+|a_{n_0}|,$

για κάθε $n\geq n_0$ . Τώρα, επιλέγουμε:

$M=\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{n_0-1}|,|a_{n_0}|+1\}>0$

και παρατηρούμε ότι $|a_k|\leq M$ για κάθε $k$ , επομένως η $a_k$ είναι πράγματι φραγμένη.

Το παραπάνω θα το αξιοποιήσουμε άμεσα ως εξής. Θεωρούμε τα σύνολα:

$A_k=\{a_i:i\geq k\}=\{a_k,a_{k+1},a_{k+2}.\ldots\}.$

Δηλαδή, τα $A_k$ είναι τα τελικά τμήματα της ακολουθίας $a_k$ , υπό την έννοια ότι, π.χ., το $A_8$ περιέχει όλους τους όρους της ακολουθίας από τον όγδοο και μετά. Παρατηρήστε ότι τα παραπάνω σύνολα είναι μη κενά και (άνω) φραγμένα οπότε υπάρχουν και οι πραγματικοί αριθμοί:

$s_k=\sup A_k,$

όπως μας πληροφορεί το αξίωμα της πληρότητας. Επίσης, δεδομένου ότι:

$A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots,$

έπεται ότι $s_1\geq s_2\geq s_3\geq\dots$ – δηλαδή, όσο «πετάμε» όρους, τόσο μικραίνουν και τα αντίστοιχα suprema. Έτσι, με βάση την $a_k$ και με τη βοήθεια της casual διατύπωσης του αξιώματος της πληρότηταςς κατασκευάσαμε μία νέα ακολουθία $s_k$ . Ήρθε η ώρα τώρα να μιλήσουμε για μία έννοια δυϊκή του supremum, μία «ξαδέρφη» του, θα λέγαμε: το infimum.

Αρχικά, ας δώσουμε έναν επίσημο ορισμό:

Infimum ενός μη κενού και κάτω φραγμένου συνόλου $A$ ονομάζουμε το μέγιστο κάτω φράγμα του και το συμβολίζουμε με $\inf A$ .

Πρακτικά, το infimum είναι το «ανάποδο» του supremum, υπό την εξής έννοια:

Για κάθε μη κενό και κάτω φραγμένο σύνολο $A$ ισχύει ότι $\inf A=-\sup(-A)$ όπου $-A=\{-a:a\in A\}$ .

Με λίγα λόγια, αν πάρουμε ένα σύνολο και το «αναποδογυρίσουμε», παίρνοντας τα αντίθετα όλων των στοιχείων του, τότε το μέγιστο κάτω φράγμα του θα είναι πλέον το ελάχιστο άνω φράγμα του. Πιο απλά, αν $A=[-2,4)$ τότε $\sup A=4$ και $\inf A=-2$ ενώ αν το «τουμπάρουμε», παίρνουμε το $-A=(-4,2]$ οπότε και $\sup(-A)=2=-\inf A$ και $\inf(-A)=-4=-\sup A$ , όπως μας πληροφορεί το παραπάνω.

Αυτή η περιγραφή του infimum μέσω του supremum μας δίνει κι άλλο ένα πολύ χρήσιμο αποτέλεσμα: κάθε κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα – δηλαδή, infimum. Αυτό, θα λέγαμε, είναι απλώς μία ισοδύναμη διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας όπως το έχουμε δει ως τώρα, καθώς ένα σύνολο $A$ είναι κάτω φραγμένο αν και μόνο αν το $-A$ είναι άνω φραγμένο. Χρησιμοποιώντας το παραπάνω, δεδομένων ότι $s_k\geq a_k$ και ότι η $a_k$ είναι φραγμένη, παίρνουμε άμεσα ότι και η $s_k$ είναι (κάτω) φραγμένη, άρα υπάρχει ο ακόλουθος πραγματικός αριθμός:

$\displaystyle a=\inf\{s_k:k\in\mathbb{N}\}=\inf_{k\in\mathbb{N}}\sup A_k=\inf_{k\in\mathbb{N}}\sup_{i\geq k}a_i.$

Ο παραπάνω αριθμός θα μας φανεί ιδιαίτερα χρήσιμος, καθώς κα αποδείξουμε ότι τελικά $a_k\to a$ . Πριν όμως το δείξουμε αυτό, ας συζητήσουμε λίγο περισσότερο για τον αριθμό $a$ . Προσπαθώντας να περιγράψουμε λεκτικά τον $a$ θα λέγαμε ότι είναι το μέγιστο κάτω φράγμα των ελάχιστων άνω φραγμάτων των τελικών τμημάτων της $a_k$ . Με άλλα λόγια, αρκετά πιο διαισθητικά, σε πρώτη φάση φτιάχνουμε μία ακολουθία αξιοποιώντας την $a_k$ ως εξής: προχωράμε συνεχώς από όρο σε όρο και κρατάμε τον «μεγαλύτερο» όρο που βλέπουμε μπροστά μας – αυτά είναι τα $\sup A_k$ . Καθώς προχωράμε, εν γένει, αυτά τα suprema θα μικραίνουν, αφού αφήνουμε πίσω μας όλο και περισσότερους όρους. Έτσι, σταδιακά «πέφτουμε», χωρίς, ωστόσο, να πέφτουμε ανεξέλεγκτα. Για την ακρίβεια, υπάρχει ένα «μαξιλαράκι» κάτω από το οποίο δεν μπορούμε να πάμε και προς το οποίο «πλησιάζουμε» – αυτό δεν είναι άλλο από το $a=\inf\{s_k:k\in\mathbb{N}\}$ .

Τώρα θα αποδείξουμε άλλα δύο αποτελέσματα που θα μας φανούν ιδιαίτερα χρήσιμα στο να αποδείξουμε ότι $a_k\to a$ . Για την ακρίβεια, θα δώσουμε δύο χαρακτηρισμούς των supremum και infimum ενός συνόλου μέσα από μία κόμψή τους ιδιότητα. Γενικότερα στα μαθηματικά, όταν μιλάμε για έναν χαρακτηρισμό μίας έννοιας, αναφερόμαστε σε μία ιδιότητα ή ένα σύνολο ιδιοτήτων που πρειγράφουν πλήρως αυτήν την έννοια. Με άλλα λόγια, ένας χαρακτηρισμός είναι ένας εναλλακτικός ορισμός της έννοιας. Επειδή πολύ φλυαρήσαμε, δίνουμε πρώτα τον χαρακτηρισμό του supremum:

Ένας (πραγματικός) αριθμός $s$ είναι το supremum ενός συνόλου $A$ αν και μόνον αν ο $s$ είναι άνω φράγμα του $A$ και για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $a\in A$ τέτοιος ώστε $s-\varepsilon<a$ .

Το παραπάνω, επί της ουσίας, εκφράζει την ιδιότητα του ελαχίστου άνω φράγματος ως εκείνο το άνω φράγμα του $A$ που μπορεί να προσεγγιστεί απεριόριστα από στοιχεία του $A$ . Η απόδειξη του παραπάνω θα γίνει σε δύο σκέλη:

$(\Rightarrow)$ Έστω ότι $s=\sup A$ , οπότε το $s$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ και, ειδικότερα, το $s$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ . Έστω επίσης ένα $\varepsilon>0$ . Αν, προς άτοπο, δεν υπάρχει $a\in A$ τέτοιος ώστε $s-\varepsilon<a$ τότε για κάθε $a\in A$ ισχύει ότι $a\leq s-\varepsilon$ , άρα το $s-\varepsilon$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ . Ωστόσο, $s-\varepsilon<s$ , άτοπο, γιατί το $s$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ . Συνεπώς, υπάρχει $a\in A$ με $s-\varepsilon<a$ .

$(\Leftarrow)$ Έστω ότι ο $s$ είναι άνω φράγμα του $A$ με την ιδιότητα για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει ένας $a\in A$ τέτοιος ώστε $s-\varepsilon<a$ . Έστω, επίσης, προς άτοπο, ότι ο $s$ δεν είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ κι έστω $t<s$ ένα άλλο άνω φράγμα του $A$ . Για το $\varepsilon=s-t>0$ από την υπόθεσή μας υπάρχει ένας $a\in A$ με:

$s-\varepsilon<a\Leftrightarrow s-(s-t)<a\Leftrightarrow t<a,$

άτοπο, διότι ο $t$ έχει υποτεθεί άνω φράγμα του $A$ . Συνεπώς, $s=\sup A$ .

Αναλόγως, έχουμε και τον ακόλουθο χαρκτηρισμό για τα infima:

Ένας (πραγματικός) αριθμός $s$ είναι το infimum ενός συνόλου $A$ αν και μόνον αν ο $s$ είναι κάτω φράγμα του $A$ και για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $a\in A$ τέτοιος ώστε $s+\varepsilon>a$ .

Η απόδειξη του παραπάνω είναι άμεση, αν θυμηθούμε ότι $\inf A=-\sup(-A)$ – εδώ ακολουθεί το γνωστό «αφήνεται ως άσκηση».

Με όλα τα παραπάνω εργαλεία στα χέρια μας θα αποδείξουμε τώρα ότι αν $a_k$ είναι μία βασική ακολουθία τότε αυτή συγκλίνει και, μάλιστα, στον $a=\inf\{\sup A_k:k\in\mathbb{N}\}$ . Έστω, λοιπόν, μία βασική ακολουθία $a_k$ , έστω $a=\inf\{\sup A_k:k\in\mathbb{N}\}$ κι έστω κι ένα $\varepsilon>0$ . Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι, από ένα σημείο και μετά, οι όροι της ακολουθίας μαζεύονται όλοι τους γύρω από το $a$ , δηλαδή ότι υπάρχει κάποιος $n_0\in\mathbb{N}$ τέτοιος ώστε για κάθε $n\geq n_0$ να ισχύει ότι $|a_n-a|<\varepsilon$ . Ο κύριος άξονας της απόδειξής μας θα είναι ο εξής:

Μπορούμε να βρούμε κάποιο supremum $s_{k_0}$ το οποίο να είναι «αρκετά κοντά» στο $a=\inf\{s_k:k\in\mathbb{N}\}$ από τον παραπάνω χαρακτηρισμό του infimum.
Επειδή $s_1\geq s_2\geq s_3\geq\dots$ , όλα τα suprema $s_k$ για $k\geq k_0$ θα είναι επίσης «αρκετά κοντά» στο $a$ .
Οι όροι της $a_k$ , επειδή είναι βασική, μαζεύονται «αρκετά κοντά» από ένα σημείο κι έπειτα.
Από τον χαρακτηρισμό του supremum μπορούμε να βρούμε έναν όρο $a_N$ της $a_k$ ο οποίος να είναι «αρκετά κοντά» σε κάποιο supremum $s_k$ για κάποιο «αρκετά μεγάλο» $k\geq k_0$ .
Επειδή οι όροι της $a_k$ θα μαζεύονται από ένα σημείο και μετά «αρκετά κοντά» μεταξύ τους, άρα και «αρκετά κοντά» στον $a_N$ ο οποίος, με τη σειρά του, είναι «αρκετά κοντά» στο $s_k$ το οποίο, με τη σειρά του, είναι «αρκετά κοντά» στον $a$ . Άρα, από ένα σημείο και μετά, οι όροι της $a_k$ θα είναι «αρκετά κοντά» στον $a$ .

Δε μένει παρά να κάνουμε τον παραπάνω «σκελετό» της απόδειξης μία αυστηρή απόδειξη – αλήθεια, μήπως αυτά τα «αρκετά κοντά» αν ήταν απειροστά, μάς έδιναν μία άμεση απόδειξη του παραπάνω;

Ακολουθούμε τη διαίσθησή μας με τα ίδια βήματα που είδαμε παραπάνω (ε, περίπου, δηλαδή):

Από τον χαρακτηρισμό του infimum υπάρχει ένας $k_0$ έτσι ώστε $a+\varepsilon/3>s_{k_0}\geq a$ . Επειδή τα $s_k$ φθίνουν, για κάθε $k\geq k_0$ θα έχουμε $a+\varepsilon/3>s_k\geq a$ .
Επειδή η $a_k$ είναι βασική, υπάρχει ένα $m_0\in\mathbb{N}$ τέτοιο ώστε για κάθε $n>m\geq m_0$ να ισχύει $|a_n-a_m|<\varepsilon/3$ .
Θέτουμε $M=\max\{k_0,m_0\}$ οπότε, από τον χαρακτηρισμό του supremum για το $s_M$ υπάρχει ένας $N\geq M$ τέτοιος ώστε $s_M-\varepsilon/3<a_N\leq s_M$ .
Επειδή $N\geq M\geq m_0$ έπεται ότι για κάθε $n>N$ έχουμε $|a_n-a_N|<\varepsilon/3$ .

Με τα παραπάνω κατά νου παρατηρούμε ότι:

$\begin{aligned}|a_n-a|&=|a_n-a_N+a_N-s_M+s_M-a|\\&\leq|a_n-a_N|+|a_N-s_M|+|s_M-a|\\&<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\\&=\varepsilon.\end{aligned}$

Επομένως, $a_k\to a$ , άρα η $a_k$ είναι συγκλίνουσα, όπως θέλαμε.

Από ακολουθίες προς supremum

Μένει τώρα να δείξουμε και την αντίστροφη συνεπαγωγή, δηλαδή ότι με δεδομένο ότι κάθε βασική ακολουθία συγκλίνει, να αποδείξουμε ότι κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα.

Έστω, λοιπόν, ένα μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών $A$ . Αφού είναι μη κενό, υπάρχει ένας πραγματικό αριθμός $a\in A$ ενώ αφού είναι άνω φραγμένο, υπάρχει ένα άνω φράγμα του $b$ . Αν $b=a$ τότε σαφώς $b=\sup A$ , αφού τότε το $b$ θα είναι το μέγιστο στοιχείο του $A$ . Αν $a<b$ τότε θέτουμε $a_1=a$ και $b_1=b$ και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν το $\frac{a_1+b_1}{2}$ είναι άνω φράγμα του $A$ και ανήκει και στο $A$ τότε είναι το supremum του, άρα δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε.
Αν το $\frac{a_1+b_1}{2}$ είναι μόνο άνω φράγμα του $A$ αλλά δεν ανήκει στο $A$ τότε θέτουμε $a_2=a_1$ και $b_2=\frac{a_1+b_1}{2}$ .
Αν το $\frac{a_1+b_1}{2}$ δεν είναι άνω φράγμα του $A$ τότε θέτουμε $b_2=b_1$ και $a_2=\frac{a_1+b_1}{2}$ .

Αυτό είναι ίσως το ουσιαστικότερο σημείο της απόδειξης. Αρχικά, ξεκινήσαμε με ένα άνω φράγμα του $A$ , το $b$ , κι ένα στοιχείο του, το $a$ . Από εκεί, αγνοώντας την τετριμμένη περίπτωση $a=b$ , πήραμε το ευθύγραμμο τμήμα και το κόψαμε στη μέση. Από τα δύο μισά που προκύπτουν, επιλέγουμε εκείνο του οποίου το αριστερό άκρο δεν είναι άνω φράγμα του $A$ ενώ το δεξί του είναι ένα άνω φράγμα του $A$ . Προσέξτε ότι η παραπάνω απλή ανάλυσή μας αποδεικνύει ότι είτε κάτι τέτοιο είναι εφικτό είτε απλώς «πέσαμε» πάνω στο supremum του $A$ . Επίσης, δεδομένου ότι κόψαμε το αρχικό μας διάστημα στη μέση, θα ισχύει επίσης και ότι $b_2-a_2=\frac{b_1-a_1}{2}$ .

Τώρα, με το διάστημα $[a_2,b_2]$ συνεχίζουμε με ακριβώς τον ίδιο τρόπο: το κόβουμε στη μέση και από τα δύο υποδιαστήματα που προκύπτουν κρατάμε αυτό που έχει ως αριστερό άκρο ένα μη άνω φράγμα του $A$ που δεν είναι άνω φράγμα του και δεξί του ένα άνω φράγμα του $A$ που δεν περιέχεται σε αυτό – αν δεν υπάρχει τέτοιο στοιχείο, τότε θα έχουμε βρει το supremum του $A$ . Αν αυτό το υποδιάστημα είναι το $[a_3,b_3]$ τότε, όπως και παραπάνω, έχουμε ότι $b_3-a_3=\frac{b_2-a_2}{2}=\frac{b-a}{4}$ .

Συνεχίζοντας με αυτό το σκεπτικό, αν υποθέσουμε ότι δε σταματήσουμε σε κανένα σημείο – δηλαδή, δεν «πέσουμε» ποτέ πάνω στο $\sup A$ , τότε θα έχουμε κατασκευάσει δύο ακολουθίες $a_n,b_n$ με τα εξής χαρακτηριστικά:

Η $a_n$ θα είναι αύξουσα, δηλαδή $a_1\leq a_2\leq a_3\dots$ .
Τα $a_n$ δεν είναι άνω φράγματα του $A$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ .
Η $b_n$ θα είναι φθίνουσα, δηλαδή $b_1\geq b_2\geq b_3\geq\dots$ .
Κάθε $b_n$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ και κανένα από αυτά δεν ανήκει στο $A$ .
Ισχύει $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^{n-1}}$ .

Από τα παραπάνω έπεται άμεσα ότι $a_n<b_m$ για κάθε $m,n\in\mathbb{N}$ και ειδικότερα ότι $a_{n+1}-a_n<b_n-a_n=\frac{1}{2^{n-1}}$ . Με αυτήν την ισχυρή πληροφορία θα δείξουμε ότι η $a_n$ είναι βασική. Πράγματι, αν $n>m$ τότε:

$\begin{aligned}|a_n-a_m|&=a_n-a_m=\\&=a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-2}-\dots-a_{m+1}+a_{m+1}-a_m\\&<\frac{1}{2^{n-2}}+\frac{1}{2^{n-3}}+\dots+\frac{1}{2^{m-1}}=\\&=\frac{1}{2^{m-1}}\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2^{n-m-1}}\right)=\\&=\frac{1}{2^{m-1}}\frac{1-\frac{1}{2^{n-m}}}{1-\frac{1}{2}}\\&<\frac{1}{2^{m-1}}\frac{1}{\frac{1}{2}}=\\&=\frac{1}{2^{m-2}}.\end{aligned}$

Συνεπώς, $a_n-a_m<\frac{1}{2^{m-2}}$ και άρα εύκολα δείχνουμε ότι η $a_n$ είναι βασική, άρα, από την υπόθεσή μας, και συγκλίνουσα. Επομένως, υπάρχει $a\in\mathbb{R}$ με $a_n\to a$ .

Με πανομοιότυπο τρόπο μπορούμε να δείξουμε και ότι η $b_n$ είναι βασική και άρα συγκλίνει σε κάποιο $b\in\mathbb{R}$ . Επίσης, δεδομένου ότι $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^{n-1}}\to0$ ενώ ταυτόχρονά $b_n-a_n\to b-a$ έχουμε ότι $b-a=0\Leftrightarrow b=a$ . Τώρα, δεδομένου ότι τα $b_n$ είναι όλα άνω φράγματα του $A$ το ίδιο θα ισχύει και για το $b$ . Πράγματι, αν $x\in A$ τότε $x\leq b_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , συνεπώς και $x\leq b$ , άρα, αφού το $x$ ήταν αυθαίρετο, έπεται ότι $x\leq b$ για κάθε $x\in A$ και άρα το $b$ είναι ένα άνω φράγμα του $A$ .

Από την άλλη, το $b(=a)$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ . Πράγματι, αν $s<b$ είναι ένα μικρότερο άνω φράγμα του $A$ τότε, αφού $a_n\to a$ , για $\varepsilon=b-s>0$ μπορούμε να βρούμε έναν όρο $a_n$ για κάποιο $n\in\mathbb{N}$ με:

$|a_n-a|<\varepsilon\Rightarrow-\varepsilon<a_n-a\Rightarrow a_n>a-\varepsilon=t,$

άτοπο γιατί $a_n\in A$ και το $t$ είχε υποτεθεί άνω φράγμα του $A$ . Συνεπώς, το $b$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ , άρα υπάρχει το $\sup A$ , και η απόδειξή μας καταλήγει.

Τέλος πρώτου μέρους

Κάπου εδώ θα πάρουμε μία ανάσα από όλα τα παραπάνω. Δείξαμε ότι πέρα από τα suprema και τα άνω φραγμένα σύνολα, μπορούμε να περιγράψουμε το αξίωμα της πληρότητας και μέσα από ένα πιο πλούσιο και ενδιαφέρον εννοιλογικά πεδίο, που περνά από τα χωράφια των ακολουθιών και των ορίων τους. Ωστόσο, έχουμε αφήσει μία εκκρεμότητα για την επόμενη εβδομάδα, η οποία, αφορά, όπως κάναμε και στο πρώτο μέρος, μία κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς χρησιμοποιώντας την παραπάνω διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας – δηλαδή, βασικές ακολουθίες. Έτσι, θα μπορέσουμε να πειστούμε ακόμα περισσότερο για την ορθότητα της διαίσθησής μας πίσω από την ταύτιση βασικών και συγκλινουσών ακολουθιών, καθώς επίσης θα μας δοθεί και η δυνατότητα να φωτίσουμε διάφορες πτυχές του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Μέχρι τότε, καλημέρα!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Ο Ιβάν ο Τρομερός και ο γιός του, Ιβάν του Ilya Repin.

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media: