Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (1)

Σε αυτήν τη σειρά αναρτήσεων θα ασχοληθούμε με ένα ελαφρώς πιο προχωρημένο ζήτημα από τα συνήθη «λυκειακά» μαθηματικά, οπότε, κάθε γνώση έστω και λίγου απειροστικού λογισμού είναι ευπρόσδεκτη. Για την ακρίβεια, θα ασχοληθούμε με το αξίωμα της πληρότητας, δηλαδή εκείνο το αξίωμα που μας εξασφαλίζει ότι η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν έχει «τρύπες» αλλά είναι «πλήρης» – εξ ου και το όνομα του διάσημου αυτού αξιώματος.

Τι είναι τα αξιώματα;

Πριν ξεκινήσουμε, ας βάλουμε λίγο κάποιες έννοιες στη σειρά. Όπως ίσως έχετε καταλάβει, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει μόνο τι είναι «πραγματικά» αλήθεια – ίσως αυτό να μας απασχολεί και στο ελάχιστο – αλλά πώς μπορούμε να συμπεράνουμε μία αλήθεια, δεδομένης μίας άλλης αλήθειας. Γι’ αυτό, άλλωστε, και η βασική διαδικασία που χαρακτηρίζει τα μαθηματικά ως επιστήμη είναι αυτή της απόδειξης και όχι του πειράματος, όπως συμβαίνει με τις άλλες θετικές (και όχι μόνο) επιστήμες. Ωστόσο, για να μπορέσουμε να αρχίσουμε να συμπεραίνουμε πράγματα, πρέπει από κάπου να ξεκινήσουμε, πρέπει, πιο «λαϊκά», να κυλήσει νερό στο αυλάκι. Με άλλα λόγια, χρειάζεται να έχουμε μία αρχική αλήθεια από την οποία, με διάφορους «νόμιμους» τρόπους, θα συμπεράνουμε κι άλλες αλήθειες. Αυτές τις βασικές αλήθειες που απλώς τις αποδεχόμαστε και δεν επιδιώκουμε – ούτε μπορούμε – να τις αποδείξουμε, τις ονομάζουμε αξιώματα. Είναι, λοιπόν, τα αξιώματα κάτι σαν το «σύνταγμα» των μαθηματικών «νόμων». Όλη η αλήθεια που έχουμε αποδείξει μπορεί να αναχθεί στην αλήθεια των αρχικών αξιωμάτων που έχουμε επιλέξει.

Ένα ζήτημα που εμφανίζεται αμέσως είναι το πώς διαλέγουμε αξιώματα; Τι, άντε βουρ πάμε και λέμε «αυτή η πρόταση, κι αυτή η πρόταση, κι αυτή η πρόταση είναι αξιώματα»; Προφανώς, όχι. Αρχικά, σε ένα πιο χαλαρό επίπεδο, μας απασχολεί τα αξιώματά μας να εκφράζουν μία ευλογοφανή αλήθεια. Για παράδειγμα, μία μαθηματική πρόταση που να μας λέει ότι μπορούμε να κόψουμε ένα πορτοκάλι και να κατασκευάσουμε δύο πορτοκάλια ίδια με το αρχικό δεν είναι κάτι που εύκολα θα επιλέγαμε ως αξίωμα – ωστόσο, αυτό δε σημαίνει ότι είναι απαραίτητα και αναληθές. Επιλέγοντας, λοιπόν, τα αξιώματα που θα περιγράφουν τους πραγματικούς αριθμούς προσπαθούμε να έχουμε κατά νου αυτά να περιγράφουν σχετικά προφανείς έννοιες και σχέσεις μεταξύ τους. Πέρα από αυτό, χρειάζεται να έχουμε κι άλλα πράγματα κατά νου, όπως το να μην διαψεύδουν το ένα το άλλο και να είναι, γενικά λίγα και ανεξάρτητα μεταξύ τους – με άλλα λόγια, να μην μπορούμε να αποδείξουμε ένα από αυτά μέσω των άλλων. Συνοπτικά, θα λέγαμε ότι ένα σύνολο αξιωμάτων θέλουμε να είναι λιτό, απέριττο και, πρωτίστως, σχεδόν προφανές ότι όσα λέει αληθεύουν.

Τα «απλά» αξιώματα των πραγματικών αριθμών

Ωραία όλα αυτά, αλλά ας πάμε λίγο και στο δια ταύτα. Τι αξιώματα διαλέγουμε για να περιγράψουμε τους πραγματικούς αριθμούς; Λοιπόν, αρχικά υποθέτουμε ότι έχουμε μία πολύ ωραία πράξη που τη συμβολίζουμε με $+$ , τη «βαφτίζουμε» πρόσθεση και αυτό που κάνει είναι να παίρνει δύο πραγματικούς αριθμούς και τους αντιστοιχίζει σε έναν άλλον πραγματικό αριθμό που θα λέμε ότι είναι το άθροισμά τους. Για αυτήν την πράξη έχουμε τα ακόλουθα αξιώματα να την περιγράφουν:

ύπαρξη του μηδενός: υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός που τον συμβολίζουμε με $0$ για τον οποίο ισχύει ότι $x+0=0+x=x$ για κάθε άλλο πραγματικό αριθμό $x$ ,
αντιμεταθετική ιδιότητα: για κάθε δύο πραγματικούς αριθμούς $x,y$ ισχύει ότι $x+y=y+x$ ,
προσεταιριστική ιδιότητα: για κάθε τρεις πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ ισχύει ότι $(x+y)+z=x+(y+z)$ – δηλαδή, μπορούμε ελεύθερα να γράφουμε $x+y+z$ χωρίς να μας νοιάζει η σειρά με την οποία προσθέτουμε τους $x,y,z$ ,
ύπαρξη του αντιθέτου: για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ υπάρχει ένας άλλος πραγματικός αριθμός που θα τον συμβολίζουμε με $-x$ τέτοιος ώστε $x+(-x)=(-x)+x=0$ .

Εντάξει, τίποτα το σοκαριστικό, ως τώρα, όλα αυτά είναι πράγματι σχετικά προφανείς ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Μάλιστα, παρατηρήστε ότι τα παραπάνω δεν περιγράφουν μόνο τους πραγματικούς αριθμούς αλλά και άλλα «μικρότερα» σύνολα αριθμών όπως, για παράδειγμα, τους ακεραίους – μπορείτε εύκολα να επαληθεύσετε ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν αν περιοριστούμε στους ακεραίους.

Με ανάλογο σκεπτικό, τώρα, βάζουμε στο παιχνίδι άλλη μία πράξη, που τη συμβολίζουμε $\cdot$ , τη «βαφτίζουμε» πολλαπλασιασμό και παίρνει κι αυτή δύο πραγματικούς αριθμούς και τους αντιστοιχίζει σε έναν άλλο, που θα λέμε ότι είναι το γινόμενό τους, υπακούοντας στα εξής αξιώματα:

ύπαρξη της μονάδας: υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός που τον συμβολίζουμε με $1$ για τον οποίο ισχύει ότι $x\cdot1=1\cdot x=x$ για κάθε άλλο πραγματικό αριθμό $x$ και, επιπρόσθετα, $1\neq0$ ,
αντιμεταθετική ιδιότητα: για κάθε δύο πραγματικούς αριθμούς $x,y$ ισχύει ότι $x\cdot y=y\cdot x$ ,
προσεταιριστική ιδιότητα: για κάθε τρεις πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ ισχύει ότι $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ – δηλαδή, μπορούμε ελεύθερα να γράφουμε $x\cdot y\cdot z$ χωρίς να μας νοιάζει η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζουμε τους $x,y,z$ ,
ύπαρξη του αντιστρόφου: για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ διάφορο του μηδενός υπάρχει ένας άλλος πραγματικός αριθμός που θα τον συμβολίζουμε με $x^{-1}$ τέτοιος ώστε $x\cdot x^{-1}=x^{_1}\cdot x=1$ .

Εντάξει, κι εδώ όλα καλά, δεν περιγράψαμε και κάτι το παράξενο, είναι η αλήθεια – παρατηρήστε, ότι τα αξιώματα που περιγράφουν τον πολλαπλασιασμό είναι σχεδόν τα ίδια με αυτά που περιγράφουν την πρόσθεση με κάποιες μικροδιαφορές.

Προσθέτουμε κι άλλο ένα αξίωμα που να συνδέει αυτές τις δύο πράξεις μεταξύ τους:

επιμεριστική ιδιότητα: για κάθε τρεις πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ ισχύει ότι $x(y+z)=xy+xz$ .

Τα παραπάνω αξιώματα αρκούν για να αποδείξουμε οποιαδήποτε αλγεβρική ιδιότητα των πραγματικών αριθμών γνωρίζουμε – καθιστούν, αυτό που λέμε στην άλγεβρα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σώμα. Ωστόσο, θα ήταν χρήσιμο να βάλουμε επίσης και μία… τάξη στους πραγματικούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας και μία σχέση διάταξης, που θα συμβολίζουμε με $<$ και η οποία θα διέπεται από τα εξής αξιώματα:

τριχοτομία: για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει ακριβώς ένα από τα ακόλουθα τρία:
- είτε $0<x$ ,
- είτε $x=0$ ,
- είτε $x<0$ ,
για κάθε δύο πραγματικούς αριθμούς $x,y$ ισχύει η εξής συνεπαγωγή: αν $x>0$ και $y>0$ τότε $x+y>0$ ,
αν δύο πραγματικοί αριθμοί $x,y$ ικανοποιούν την $x<y$ τότε για κάθε άλλο πραγματικό αριθμό $z$ ισχύει ότι $x+z<y+z$ .

Τα παραπάνω 12 εύλογα αξιώματα φαίνονται να περιγράφουν σχετικά καλά τους πραγματικούς αριθμούς. Ωστόσο, περιγράφουν κι άλλο ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, αρκετά «μικρότερο», μάλιστα: τους ρητούς. Όπως γνωρίζουμε, υπάρχουν αρκετοί αριθμοί που δεν μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή κλασμάτων – όπως ο $\pi$ ή η βάση των φυσικών λογαρίθμων $e$ , οπότε θα θέλαμε κάπως η περιγραφή μας κάπως να περικλείει και αυτά τα «κενά» που έχουμε αφήσει.

Το αξίωμα της πληρότητας

Σε αυτό ακριβώς το σημείο έρχεται να μας βοηθήσει το αξίωμα της πληρότητας. Ας δούμε την πιο συνηθισμένη, ίσως, διατύπωσή του:

Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα (το οποίο είναι πραγματικός αριθμός).

Ωραία, και τι μ’αυτό; Πώς γέμισαν οι «τρύπες» που είχαμε αφήσει με τα προηγούμενα 12 αξιώματα; Βασικά, κάτι ακόμα πιο βασικό: τι λέει το παραπάνω αξίωμα;

Λοιπόν, ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. Αρχικά, τι εννοούμε όταν λέμε ότι ένα σύνολο $A$ είναι άνω φραγμένο; Διαισθητικά, εννοούμε ότι προχωρώντας προς το $+\infty$ – δηλαδή περπατώντας στην ευθεία των αριθμών απεριόριστα προς τα «δεξιά» – από ένα σημείο και μετά θα σταματήσουμε να βλέπουμε στοιχεία του συνόλου $A$ . Με πιο αυστηρά μαθηματικά, θα λέγαμε ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός $M$ τέτοιος ώστε για κάθε $a\in A$ να ισχύει: $a\leq M$ . Έναν τέτοιον αριθμό σαν τον $M$ θα τον ονομάζουμε άνω φράγμα του συνόλου $A$ .

Τώρα, τι πάει να πει ελάχιστο άνω φράγμα; Όπως είπαμε παραπάνω, άνω φράγμα ενός συνόλου $A$ είναι ένα αριθμός $M$ που ικανοποιεί τη σχέση $a\leq M$ για κάθε $a\in A$ . Ωστόσο, όπως εύκολα βλέπουμε, ένας τέτοιος αριθμός δεν είναι επ’ ουδενί μοναδικός. Αντιθέτως, υπάρχουν άπειροι αριθμοί που είναι άνω φράγματα ενός άνω φραγμένου συνόλου. Για παράδειγμα, αν πάρουμε το σύνολο $A=(-4,7)$ τότε κάποια άνω φράγματά του είναι το $8$ , το $15+\sqrt{2}$ , το $45\pi$ και άλλα πολλά – μπορείτε να βρείτε ποια ακριβώς; Το ελάχιστο άνω φράγμα, λοιπόν, του $A$ σε αυτήν την περίπτωση, είναι το $7$ – μπορείτε σχετικά εύκολα να δείτε γιατί. Από εδώ κι εμπρός, για το ελάχιστο άνω φράγμα ενός συνόλου $A$ θα χρησιμοποιούμε μία πιο… sexy λατινική ονομασία, supremum, και θα το συμβολίζουμε με $\sup A$ . Επομένως, στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα λέγαμε ότι $\sup A=7$ .

Ωστόσο, έχουν όλα τα σύνολα supremum; Προφανώς, όχι. Πάρτε, για παράδειγμα, το σύνολο των φυσικών αριθμών ή το διάστημα $(3,+\infty)$ . Ωστόσο, αυτά τα σύνολα δεν εμπίπτουν στην περιγραφή του αξιώματος της πληρότητας μιας και είναι, μεν, μη κενά, αλλά δεν είναι άνω φραγμένα. Αναδιατυπώνουμε, λοιπόν, την απορία μας: υπάρχουν μη κενά και άνω φραγμένα υποσύνολα των πραγματικών αριθμών που να μην έχουν supremum; (aka ελάχιστο άνω φράγμα)

[Σιωπή]

Μάλλον βάλαμε δύσκολα, ξαφνικά. Το αξίωμα της πληρότητας μάς λέει πώς τέτοια σύνολα δεν υπάρχουν. Ωστόσο, πώς αυτό ταιριάζει με την εικόνα που έχουμε για την ευθεία των πραγματικών αριθμών και, ειδικότερα, πώς μας δίνει την πολυπόθητη ιδιότητα της πληρότητας; Πώς, δηλαδή, γεμίζουν με αυτό το αξίωμα οι «τρύπες» μεταξύ των ρητών αριθμών; Ας πάμε πρώτα να εξετάσουμε την ισχύ του αξιώματος της πληρότητας στο σύνολο των ρητών αριθμών. Γι’ αυτόν τον σκοπό θα πρέπει πρώτα να επαναδιατυπώσουμε κατάλληλα το αξίωμα της πληρότητας, έτσι ώστε να αναφέρεται αποκλειστικά σε ρητούς αριθμούς, ως εξής:

Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των ρητών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα (το οποίο είναι ρητός αριθμός).

Ουσιαστικά, δεν κάναμε τίποτα άλλο από το να αντικαταστήσουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών με αυτό των ρητών. Έτσι, το παραπάνω μας λέει ότι αν πάρουμε ένα μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των ρητών τότε αυτό θα έχει supremum το οποίο θα είναι ρητός αριθμός. Κι εδώ βρίσκεται η ουσιώδης διαφορά από το «original» αξίωμα της πληρότητας: το ελάχιστο άνω φράγμα υποθέτουμε ότι πρέπει να είναι και αυτό ρητός και όχι, ενδεχομένως, κάποιος πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός – ίσως έχει αρχίσει να αχνοφαίνεται σιγά-σιγά πώς το «original» αξίωμα «γεμίζει» τις τρύπες που αναφέραμε παραπάνω.

Πάμε τώρα να εξετάσουμε αν το αξίωμα της πληρότητας ισχύει για το σύνολο των ρητών αριθμών. Θεωρούμε το σύνολο $A=\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}$ , το σύνολο, δηλαδή, των ρητών που έχουν τετράγωνο μικρότερο του $2$ . Εμφανώς, αυτό το σύνολο είναι μη κενό – για παράδειγμα, ένας τέτοιος ρητός είναι το $0$ – και άνω φραγμένο – για παράδειγμα, από το $3$ αφού $3^2=9$ . Το αξίωμα της πληρότητας όπως το διατυπώσαμε για τους ρητούς αριθμούς – αν υποθέσουμε ότι ισχύει – μας λέει ότι υπάρχει το supremum του συνόλου $A$ , ότι υπάρχει, δηλαδή, ένας ρητός αριθμός $s$ τέτοιος ώστε για κάθε $x\in A$ να ισχύει $x\leq s$ και για κάθε άλλο άνω φράγμα $y$ του $A$ να ισχύει $s\leq y$ . Ωστόσο, υπάρχει πράγματι ένας τέτοιος ρητός αριθμός;

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει. Τότε αυτός ο αριθμός θα πρέπει να ικανοποιεί τα εξής:

να είναι ρητός, δηλαδή $s\in\mathbb{Q}$ ,
να είναι άνω φράγμα του $A$ , δηλαδή να ισχύει $x\leq s$ για κάθε $x\in A$ ,
να είναι ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ , δηλαδή, για κάθε άλλο άνω φράγμα $y$ του $A$ να ισχύει ότι $s\leq y$ .

Θα δείξουμε, με βάση τη δεύτερη και την τρίτη υπόθεση, ότι $s^2=2$ , κάτι που θα μας οδηγήσει σε αντίφαση με το γεγονός ότι ο $s$ είναι ρητός – γιατί, όπως μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε, ένας αριθμός ο οποίος στο τετράγωνο είναι ίσος με $2$ δεν μπορεί να είναι ρητός. Ας υποθέσουμε, αρχικά, ότι $s^2<2$ . Τότε, μπορούμε να βρούμε έναν φυσικό αριθμό $n$ για τον οποίο να ισχύει:

$\displaystyle n>\frac{2s+1}{2-s^2}.$

Το ότι αυτό είναι εφικτό είναι προφανές – αφού το σύνολο των φυσικών δεν είναι άνω φραγμένο – αλλά το γιατί αυτό είναι χρήσιμο ίσως δεν είναι… Αλλά, ας δούμε λίγο τι ακριβώς μπορούμε να συμπεράνουμε από το παραπάνω. Αρχικά, αντιστρέφοντας τα δύο μέλη της ανισότητας παίρνουμε την:

$\displaystyle \frac{1}{n}<\frac{2-s^2}{2s+1}.$

Τώρα, ας πάρουμε για λίγο τον αριθμό $t=s+\dfrac{1}{n}$ ο οποίος είναι ρητός ως άθροισμα ρητών και για το τετράγωνό του ισχύει ότι:

$\displaystyle t^2=\left(s+\frac{1}{n}\right)^2=s^2+\frac{2s}{n}+\frac{1}{n^2}\leq s^2+\frac{2s}{n}+\frac{1}{n},$

όπου η τελευταία ανισότητα προκύπτει διότι $n^2\geq n\iff\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n}$ για κάθε φυσικό αριθμό $n.$ Επομένως, έχουμε δείξει ότι:

$\displaystyle t^2\leq s^2+\frac{2s+1}{n}.$

Από τα παραπάνω έχουμε τώρα:

$\displaystyle t^2\leq s^2+\frac{2s+1}{n}<s^2+(2s+1)\frac{2-s^2}{2s+1}=s^2+2-s^2=2,$

επομένως έχουμε $t^2<2$ και ο $t$ είναι ρητός, άρα $t\in A$ . Ωστόσο, $t>s$ , πράγμα αδύνατο, αφού ο $s$ είναι άνω φράγμα του συνόλου $A$ , άρα καταλήξαμε σε άτοπο! Συνεπώς, δε γίνεται να ισχύει $s^2<2$ .

Με εντελώς ανάλογο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι δε γίνεται να ισχύει ούτε η ανισότητα $s^2>2$ επομένως πρέπει να έχουμε $s^2=2$ (από το αξίωμα της τριχοτομίας που είδαμε παραπάνω), άρα ο $s$ δεν μπορεί να είναι ρητός, άτοπο!

Από το παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αξίωμα της πληρότητας όπως το διατυπώσαμε για τους ρητούς αριθμούς δεν ισχύει, επομένως, το σύνολο που περιγράφεται από τα 13 αξιώματα που έχουμε αναφέρει – των δύο πράξεων, της διάταξης και της πληρότητας – δεν μπορεί να είναι αυτό των ρητών, αλλά ένα άλλο σύνολο, διαφορετικό αυτού και «ευρύτερο».

Ωραία όλα αυτά, αλλά ακόμα δεν έχουμε αποσαφηνίσει πώς θα γεμίσουν οι τρύπες, σωστά; Λοιπόν, όπως είδαμε παραπάνω, ο αριθμός που από το αξίωμα της πληρότητας γνωρίζουμε ότι υπάρχει και ότι είναι πραγματικός δεν είναι ρητός, επομένως είναι ένας «καινούργιος» αριθμός που δεν υπήρχε μέσα στο σύνολο των ρητών – ήταν, ας πούμε, μία από τις «τρύπες» στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Επομένως, πράγματι, το αξίωμα της πληρότητας περιγράφει – με τον δικό του, λίγο στρυφνό, τρόπο – ένα σύνολο που εκτός από τους ρητούς περιέχει και άλλους αριθμούς. Αυτό το σύνολο θα είναι από εδώ κι εμπρός το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, $\mathbb{R}$ .

Η κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς.

Για να αποσαφηνίσουμε ακόμα περισσότερο την παραπάνω ιδέα, θα ξεκινήσουμε με τους ρητούς αριθμούς και θα περιγράψουμε μία διαδικασία κατασκευής των πραγματικών αριθμών, η οποία θα βασίζεται στην ιδέα που είδαμε ακριβώς παραπάνω – να πάρουμε όσα suprema συνόλων ρητών αριθμών δεν είναι ρητοί αριθμοί και να τα «βάλουμε» στο σύνολό των αριθμών μας. Για αυτήν την κατασκευή θα χρειαστεί πρώτα να ορίσουμε μία νέα έννοια, αυτήν της τομής Dedekind. Δίνουμε απευθείας τον ορισμό και θα τον συζητήσουμε μετά εκτενώς για να τον «χωνέψουμε» πιο εύκολα:

Ένα ζευγάρι $(A,B)$ όπου $A,B\subseteq\mathbb{Q}$ λέγεται τομή Dedekind αν ισχύουν τα παρακάτω:

$A\neq\mathbb{Q},\ A\neq\varnothing$ ,
$A\cup B=\mathbb{Q}$ και $A\cap B=\varnothing$ ,
αν $x\in A$ και $y\in\mathbb{Q}$ με $y<x$ τότε $y\in A$ ,
αν $x\in A$ τότε υπάρχει $y\in A$ τέτοιο ώστε $y>x$ .

Ας δούμε τώρα πώς ερμηνεύονται όλα τα παραπάνω. Αρχικά, επί της ουσίας μία τομή Dedekind είναι μία διαμέριση των ρητών σε δύο ξένα και μη κενά υποσύνολα. Επιπρόσθετα, όμως, απαιτούμε από αυτήν τη διαμέριση τα σύνολα να είναι, κατά κάποιον τρόπο, διατεταγμένα. Με άλλα λόγια, στο ζεύγος $(A,B)$ το σύνολο $A$ είναι το «αριστερό» σύνολο του ζεύγους και το $B$ το «δεξί», υπό την έννοια ότι όλα τα στοιχεία του $A$ είναι μικρότερα από όλα τα στοιχεία του $B$ . Επίσης, το αριστερό σύνολο δεν έχει μέγιστο στοιχείο, όπως βλέπουμε από την τελευταία ιδιότητα. Η τελευταία αυτή ιδιότητα θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη στην «εμφύτευση» των ρητών αριθμών στο νέο σύνολο που θα κατασκευάσουμε – θα το συζητήσουμε κι αυτό στο τέλος.

Χρησιμοποιώντας τις τομές Dedekind θα κατασκευάσουμε ένα σύνολο το οποίο θα ικανοποιεί όλα τα αξιώματα που ικανοποιούν οι ρητοί για την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διάταξη και, επιπρόσθετα, θα ικανοποιεί και το αξίωμα της πληρότητας. Αυτό το σύνολο που θα κατασκευάσουμε θα το «βαφτίσουμε» σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ορίζουμε, λοιπόν, το σύνολο:

$\mathbb{R}=\{(A,B):$ το $(A,B)$ είναι μία τομή $\text{Dedekind}\}.$

Στην ουσία το $\mathbb{R}$ αποτελείται από όλες τις τομές Dedekind που μπορούμε να κατασκευάσουμε, έχει, δηλαδή, ως στοιχεία του διατεταγμένα ζεύγη από σύνολα ρητών που διαμερίζουν το $\mathbb{Q}$ με τον τρόπο που εξηγήσαμε παραπάνω. Θα δείξουμε τώρα ότι δικαίως συμβολίζουμε αυτό το σύνολο με $\mathbb{R}$ .

Τα «εύκολα» αξιώματα

Πριν περάσουμε στο αξίωμα της πληρότητας θα δώσουμε μία ιδέα για το πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα υπόλοιπα αξιώματα ισχύουν στο $\mathbb{R}$ . Αλλά, για να κάνουμε κάτι τέτοιο, πρέπει να ορίσουμε με κάποιον τρόπο δύο πράξεις και μία σχέση διάταξης επί του $\mathbb{R}$ . Δηλαδή, πρέπει να ορίσουμε πράξεις και διάταξη στο σύνολο όλων των τομών Dedekind που έχουμε πρόθεση να ταυτίσουμε με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ας ξεκινήσουμε από την πρόσθεση, που είναι σχετικά απλός ο ορισμός της. Θεωρούμε δύο τομές Dedekind $a=(A_1,B_1)$ και $b=(A_2,B_2)$ . Τότε, το άθροισμα $a+b$ αυτών των τομών θα είναι η τομή $a+b:=(A_1+A_2,\mathbb{Q}\setminus(A_1+A_2))$ , όπου, αν $X,Y$ είναι δύο σύνολα τότε με $X+Y$ συμβολίζουμε το σύνολο όλων των αθροισμάτων ενός στοιχείου του $X$ με ένα στοιχείο του $Y$ , δηλαδή:

$\displaystyle X+Y:=\{x+y:x\in X,\ y\in Y\}.$

Επίσης, ορίζουμε ως ουδέτερο στοιχείο της παραπάνω πράξης την τομή $0:=(A_0,\Theta)$ , όπου $A_0$ είναι το σύνολο των αρνητικών ρητών αριθμών και $\Theta$ είναι το σύνολο των μη αρνητικών ρητών αριθμών – επί της ουσίας, ταυτίζουμε το μηδέν των ρητών με αυτό των πραγματικών, όπως θα περιμέναμε. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το $0$ που ορίσαμε παραπάνω είναι πράγματι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη που ορίσαμε καθώς και ότι η πρόσθεση, όπως την έχουμε ορίσει, είναι πράγματι πρόσθεση – ικανοποιεί, δηλαδή, την προσεταιριστική και την αντιμεταθετική ιδιότητα που περιγράψαμε παραπάνω. Επίσης, σε σχέση με την ύπαρξη του αντιθέτου, αν $a=(A,B)$ είναι μία τομή Dedekind, θα ορίσουμε ως αντίθετή της και θα συμβολίζουμε με $-a$ την τομή:

$-a:=(-B,\mathbb{Q}\setminus(-B)),$

όπου με $-B$ συμβολίζουμε το σύνολο:

$-B:=\{x-b:x\in\mathbb{Q},\ x<0,\ b\in B\}.$

Εδώ αξίζει να δούμε το τρυκ που κάναμε. Αν ορίζαμε το $-B$ απλώς ως:

$-B:=\{-b:b\in B\},$

τότε θα είχαμε πρόβλημα σε αρκετές περιστάσεις. Θεωρήστε, για παράδειγμα το σύνολο $A=\{q\in\mathbb{Q}:q<3\}$ και την αντίστοιχη τομή $a=(A,B)$ με $B=\mathbb{Q}\setminus A$ τότε θα είχαμε ότι:

$-B=\{-q:q\in\mathbb{Q},\ q\geq3\}=\{q\in\mathbb{Q}:q\leq-3\},$

το οποίο έχει μέγιστο στοιχείο, άρα το $(-B,\mathbb{Q}\setminus(-B))$ δεν μπορεί να είναι μία τομή Dedekind. Αντιθέτως, αν ορίσουμε το $-B$ όπως κάναμε τότε δε γίνεται να έχουμε μέγιστο στοιχείο, αφού για κάθε $x-b$ με $x<0$ , $x\in\mathbb{Q}$ και $b\in B$ έπεται ότι:

$x-b<\frac{x}{2}-b\in-B.$

Άρα, πράγματι, δεν έχει μέγιστο στοιχείο το $-B$ και άρα η τομή $(-B,\mathbb{Q}\setminus(-B))$ είναι καλώς ορισμένη.

Για τον πολλαπλασιασμό τα πράγματα δε θα είναι τόσο προφανή. Βασικά, θα είναι «σχεδόν» προφανή, υπό την έννοια ότι απλά θα χρειαστεί λίγη προσοχή. Αρχικά, μας είναι απαραίτητο να ορίσουμε πρώτα τη διάταξη στο σύνολο των τομών Dedekind. Αυτό είναι σχετικά απλό μιας και, αν $a=(A_1,B_1),\ b=(A_2,B_2)$ είναι δύο τομές τότε θα λέμε ότι $a<b$ αν και μόνο αν $A_1\subset A_2$ και, αντίστοιχα, $a\leq b$ αν και μόνο αν $A_1\subseteq A_2$ . Εύκολα τώρα μπορούμε να αποδείξουμε και τα τρία αξιώματα που περιγράφουν τη διάταξη των πραγματικών αριθμών – εντάξει, ψέματα, δεν είναι τόσο απλό αλλά δεν έχετε παρά να βάλετε κάτω τους ορισμούς και τη διαίσθησή σας και θα φανούν όλα αμέσως.

Ορίζουμε τώρα το γινόμενο δύο τομών $a=(A_1,B_1),\ b=(A_2,B_2)$ ως εξής:

Αν $a\geq0,\ b\geq0$ τότε ορίζουμε ως $a\cdot b$ την τομή $(C,D)$ όπου $C=\{ab:a\in A_1,\ b\in A_2,\ a,b\geq0\}\cup\mathbb{Q}_-$ , $D=\mathbb{Q}\setminus C$ και με $\mathbb{Q}_-$ συμβολίζουμε το σύνολο των αρνητικών ρητών αριθμών.
Αν $a<0,\ b\geq0$ τότε ορίζουμε το γινόμενο $a\cdot b$ ως εξής: $a\cdot b:=-(-a)\cdot b$ . Με άλλα λόγια, τα κάνουμε όλα μη αρνητικά, πολλαπλασιάζουμε όπως ορίσαμε παραπάνω και έπειτα παίρνουμε τον αντίθετο αυτού που βρήκαμε.
Αν $a\geq0,\ b<0$ τότε αναλόγως ορίζουμε $a\cdot b:=-(a\cdot(-b))$ .
Αν $a,b<0$ τότε, αγόγγυστα πλέον, μπορούμε να ορίσουμε $a\cdot b:=(-a)\cdot(-b)$ .

Επίσης, ορίζουμε ως ουδέτερο στοιχείο της πράξης μας την τομή $1:=(A_1,B)$ όπου $A_1:=\{q\in\mathbb{Q}:q<1\}$ και $B:=\mathbb{Q}\setminus A_1$ . Τέλος, αν $a=(A,B)$ είναι μία τομή Dedekind με $a\neq0$ ορίζουμε ως αντίστροφη της $a$ και τη συμβολίζουμε με $a^{-1}$ την τομή:

$(C,D)$ , όπου $C:=\{b^{-1}:b\in B\},\ D=\mathbb{Q}\setminus C$ , αν $a>0$ ,
$-\left((-a)^{-1}\right)$ , αν $a<0$ .

Με τα παραπάνω μπορούμε να αποδείξουμε όλα τα αξιώματα που περιγράφουν τον πολλαπλασιασμό καθώς και την επιμεριστική ιδιότητα, που συνδέει τις δύο πράξεις μας.

Το αξίωμα της πληρότητας

Ώρα τώρα να αποδείξουμε αναλυτικά το αξίωμα της πληρότητας στο σύνολο που έχουμε κατασκευάσει – δηλαδή, το σύνολο όλων των τομών Dedekind. Αλλά, πριν από αυτό, ας δούμε λίγο τι γράφει η προηγούμενη πρόταση: «…να αποδείξουμε αναλυτικά το αξίωμα…». Στην αρχή δεν είχαμε πει ότι τα αξιώματα δεν τα αποδεικνύουμε, αλλά τα δεχόμαστε; Πώς εδώ λοιπόν θα πάμε να αποδείξουμε το αξίωμα της πληρότητας; Ακόμα χειρότερα, πώς τόσην ώρα «αποδεικνύουμε» τα αξιώματα των πράξεων και της διάταξης, αφού είναι αξιώματα;

Ας βάλουμε λίγο τα πράγματα στη θέση τους. Τα αξιώματα πράγματι δεν τα αποδεικνύουμε. Ωστόσο, ας δούμε λίγο τι έχουμε κάνει ως τώρα. Ξεκινήσαμε από ένα σύνολο που ικανοποιεί όλα τα αξιώματα της διάταξης και των πράξεων αλλά όχι της πληρότητας – τους ρητούς – και προσπαθούμε να κατασκευάσουμε ένα άλλο σύνολο στο οποίο να ισχύουν όλα αυτά τα αξιώματα που είχαμε και, επιπρόσθετα, για τα στοιχεία αυτού του νέου συνόλου να ισχύει και το αξίωμα της πληρότητας. Έτσι, ακόμα και τα αξιώματα των πράξεων και της διάταξης που έχουμε υποθέσει ότι ισχύουν στους ρητούς ωφείλουμε να αποδείξουμε ότι ισχύουν για το νέο σύνολο που κατασκευάσαμε – μιας και δεν αναφέρονταν σε τομές Dedekind αυτά τα αξιώματα, αλλά σε ρητούς αριθμούς. Έτσι, αυτό που εμείς κάνουμε εδώ είναι να κατασκευάζουμε ένα μοντέλο για τα παραπάνω αξιώματα. Με άλλα λόγια, κατασκευάζουμε ένα σύνολο – στην προκειμένη, το σύνολο όλων των τομών Dedekind – το οποίο αποσκοπούμε στο να ικανοποιεί όλα αυτά τα αξιώματα που ικανοποιούσαν και οι ρητοί και, επιπρόσθετα, να ικανοποιεί και το πολυπόθητο αξίωμα της πληρότητας.

Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη του αξιώματος της πληρότητας ή, αν προτιμάτε, στην απόδειξη της ισχύος του αξιώματος της πληρότητας στο σύνολο των τομών Dedekind που έχουμε κατασκευάσει. Ας υπενθυμίσουμε, για αρχή, το ίδιο το αξίωμα της πληρότητας:

Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα.

Θεωρούμε, λοιπόν, ένα σύνολο $X\neq\varnothing$ από τομές Dedekind το οποίο είναι άνω φραγμένο. Επομένως, υπάρχει μία τομή Dedekind $a=(A_0,B_0)$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in X$ να ισχύει $x\leq a$ . Θεωρούμε τώρα το σύνολο:

$\displaystyle S:=\{s\in\mathbb{Q}:\exists x\in X,\ x=(T,\mathbb{Q}\setminus T),\ s\in T)\}=\bigcup_{(T,\mathbb{Q}\setminus T)\in X}T.$

Ας δούμε τι φτιάξαμε μόλις τώρα. Το $S$ είναι, πρώτα-πρώτα, ένα σύνολο ρητών. Ως εδώ όλα καλά. Έπειτα, δεν περιέχει ό,τι ρητούς νά’ ναι, αλλά εκείνους τους ρητούς που ανήκουν στο αριστερό σύνολο κάποιας τομής Dedekind που περιέχεται στο $X$ . Με άλλα λόγια, για να φτιάξουμε το $S$ παίρνουμε όλες τις τομές που περιέχονται στο $X$ και από αυτές κρατάμε ό,τι ρητό βλέπουμε στο αριστερό τους σύνολο – εξ ου και ο «συνοπτικός» συμβολισμός $S=\bigcup_{(T,\mathbb{Q}\setminus T)\in X}T$ .

Θα παρατηρήσουμε τώρα κάποια πράγματα για το $S$ .

Αρχικά, είναι μη κενό. Πράγματι, αφού το $X$ είναι μη κενό, θα περιέχει μία τομή $x=(A,B)$ συνεπώς $A\subseteq S$ και άρα $S\neq\varnothing$ – αφού κανένα από τα δύο σύνολα μίας τομής δεν είναι κενό.
Επιπλέον, $S\neq\mathbb{Q}$ . Πράγματι, αφού το $a$ είναι άνω φράγμα του $X$ έπεται ότι για κάθε τομή $x=(C,D)\in X$ ισχύει ότι $C\subseteq A_0$ , άρα και $S\subseteq A_0$ άρα $S\cap B_0=\varnothing$ , άρα $S\neq\mathbb{Q}$ .
Το $S$ δεν έχει μέγιστο στοιχείο. Πράγματι, αν είχε ένα μέγιστο στοιχείο, έστω $s\in\mathbb{Q}$ , τότε αυτό θα ανήκει σε κάποιο $T\subseteq\mathbb{Q}$ με $(T,\mathbb{Q}\setminus T)\in X$ . Όμως τότε αυτό θα ήταν και μέγιστο στοιχείο του $T$ αφού $T\subseteq S$ , άτοπο, αφού το $T$ είναι αριστερό σύνολο τομής άρα δεν έχει μέγιστο στοιχείο.
Αν $s\in S$ και $t\in\mathbb{Q}$ με $t<s$ τότε $t\in S$ . Πράγματι, αν $s\in S$ τότε $s\in T$ για κάποιο αριστερό σύνολο $T$ κάποιας τομής του $X$ . Συνεπώς, $t\in T$ – αφού είναι αριστερό σύνολο τομής – και έτσι $t\in S$ .

Τα παραπάνω μας λένε ότι η τομή $s=(S,\mathbb{Q}\setminus S)$ είναι καλώς ορισμένη, δηλαδή ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες του ορισμού της τομής Dedekind. Θα δείξουμε τώρα ότι $s=\sup X$ . Αρχικά, παρατηρούμε ότι $s\geq x$ για κάθε $x\in X$ . Πράγματι, αν $x=(A,B)\in X$ τότε εξ ορισμού $A\subseteq S\Rightarrow x\leq s$ , άρα το $s$ είναι άνω φράγμα του $X$ . Θα δείξουμε τώρα ότι το $s$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $X$ . Έστω $t=(T,\mathbb{Q}\setminus T)$ ένα άλλο άνω φράγμα του $X$ . Αφού $t\geq x$ για κάθε $x=(A,B)\in X$ έπεται ότι $A\subseteq T$ για κάθε $A$ αριστερό σύνολο τομής του $X$ . Έτσι, έπεται ότι $\bigcup_{(A,B)\in X}A\subseteq T\Leftrightarrow S\subseteq T$ , άρα $s\leq t$ . Αφού το $t$ ήταν αυθαίρετο έπεται ότι το $s$ είναι μικρότερο ή ίσο από κάθε άνω φράγμα του $X$ , άρα είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $X$ .

Έτσι, αποδείξαμε ότι στο νέο σύνολο όλων των τομών Dedekind που κατασκευάσαμε ισχύουν τόσο τα αξιώματα των δύο πράξεων και της διάταξης όσο και το αξίωμα της πληρότητας. Αυτό το νέο σύνολο θα το ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών και θα το συμβολίζουμε, όπως έχουμε ήδη αναφέρει και αναμέναμε, με $\mathbb{R}$ .

Φυτεύοντας κλάσματα

Δώσαμε μία υπόσχεση κάπου παραπάνω, ότι θα «εμφυτεύσουμε» τους «παραδοσιακούς» ρητούς μέσα στο νέο σύνολο που κατασκευάσαμε. Αρχικά, με τον όρο εμφύτευση εννοούμε ότι θα βρούμε ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}$ , όπως το έχουμε ορίσει παραπάνω, το οποίο θα έχει ιδιότητες ανάλογες με αυτές του γνωστού μας συνόλου των ρητών αριθμών. Με άλλα λόγια, θα «μεταφέρουμε», κατά κάποιον τρόπο, τους ρητούς αριθμούς στο νέο πλαίσιο μέσα στο οποίο μιλάμε πλέον – αυτό των τομών Dedekind.

Η εμφύτευση αυτή είναι αρκετά απλή και άμεση, είναι η αλήθεια. Θεωρούμε έναν ρητό $q\in\mathbb{Q}$ και το σύνολο:

$A_q:=\{x\in\mathbb{Q}:x<q\}.$

Το σύνολο $A_q$ έχει κάποιες καλές ιδιότητες. Για την ακρίβεια:

Είναι μη κενό, αφού ο $q-1$ είναι ρητός και $q-1<q$ .
Είναι άνω φραγμένο, άρα διάφορο του $\mathbb{Q}$ , αφού $q+1>q$ και $q+1\in\mathbb{Q}$ .
Αν περιέχει έναν ρητό $x$ τότε περιέχει και κάθε ρητό $y<x$ – αυτό είναι προφανές.
Δεν έχει μέγιστο στοιχείο. Πράγματι, αν, προς άτοπο, $a\in\mathbb{Q}$ είναι το μέγιστο του $A_q$ τότε εξ ορισμού $a\in A_q$ , οπότε $a<q$ , συνεπώς $a<\frac{a+q}{2}<q$ άρα $\frac{a+q}{2}\in A_q$ , άτοπο, γιατί $\frac{a+q}{2}>a$ και το $a$ είχε υποτεθεί ότι είναι το μέγιστο στοιχείο του $A_q$ .

Τα παραπάνω μας επιτρέπουν να ορίσουμε με ασφάλεια την τομή Dedekind $\tilde{q}=(A_q,\mathbb{Q}\setminus A_q)$ . Έτσι, μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο:

$\tilde{\mathbb{Q}}:=\{(A_q,\mathbb{Q}\setminus A_q):q\in\mathbb{Q}\},$

το οποίο και θα αποτελεί το σύνολο των ρητών μέσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών που έχουμε κατασκευάσει. Είναι σχετικά εύκολο να δείξει κανείς ότι τα 12 πρώτα αξιώματα – των δύο πράξεων και της διάταξης – ικανοποιούνται από το $\tilde{\mathbb{Q}}$ με τις πράξεις όπως έχουν οριστεί για τις τομές Dedekind, άρα δικαιώς επιλέξαμε αυτό το σύνολο ως τους «νέους» ρητούς.

Επίλογος

Σε αυτό το πρώτο μέρος της σειράς μας είδαμε κάποια βασικά περί αξιωμάτων, την κλασσική διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας καθώς και το πώς με βάση αυτή τη μορφή του μπορούμε να κατασκευάσουμε με εφαλτήριο τους ρητούς αριθμούς ένα σύνολο που να ικανοποιεί και τα 13 αξιώματα των πραγματικών αριθμών.

Στην πορεία αυτής της σειράς θα εξερευνήσουμε τα διάφορα πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας – δηλαδή, διάφορες ισοδύναμες διατυπώσεις του – καθώς και το πώς αυτά μπορούν να μας οδηγήσουν σε διάφορες κατασκευές των πραγματικών αριθμών μέσα από τους ρητούς. Στο επόμενο μέρος της σειράς θα εξετάσουμε τη διατύπωση του αξιώματος της πληρότητας μέσω βασικών ακολουθιών, την ισοδυναμία της με αυτή τη μορφή που δώσαμε τώρα καθώς και μία αρκετά ενδιαφέρουσα κατασκευή των πραγματικών αριθμών βασισμένη σε αυτή τη διατύπωση.

Μέχρι τότε, εις το επανειδείν!

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Ο κύκνος Αρ. 1, Group IX/SUW της Hilma af Klint.

Διαβάστε επίσης: Τι λέει το Θεώρημα του Bolzano;

Ακολουθήστε το aftermathsgr στα social media:

10 comments

Ο/Η Πόσες είναι οι συνεχείς συναρτήσεις; – Aftermaths λέει:

2 Ιανουαρίου 2021 στο 09:38

[…] […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Hyperreals: Απειροστά και άπειροι αριθμοί – Aftermaths λέει:

17 Ιανουαρίου 2021 στο 12:34

[…] αριθμοί περιγράφονται από κάποια αξιώματα – διαβάστε εδώ αρκετά περισσότερα για το πιο περιβόητο α… – τα οποία μας δίνουν τις βασικές τους ιδιότητες, από […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (2α) – Aftermaths λέει:

31 Ιανουαρίου 2021 στο 10:22

[…] πρώτο μέρος της σειράς μιλήσαμε για την πλέον συνηθισμένη περιγραφή του […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (2α) – Aftermaths λέει:

7 Φεβρουαρίου 2021 στο 01:43

[…] πρώτο μέρος της σειράς μιλήσαμε για την πλέον συνηθισμένη περιγραφή του […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (2β) – Aftermaths λέει:

7 Φεβρουαρίου 2021 στο 10:40

[…] από τη συνήθη μορφή του αξιώματος της πληρότητας – κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικώ… – μπορούμε να βρούμε και μία διατύπωση κάπως πιο […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Hyperreals: Λογικά πράγματα… – Aftermaths λέει:

14 Φεβρουαρίου 2021 στο 10:40

[…] θα αξιοποιήσουμε λίγο όσα έχουμε αναφέρει εδώ περί αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών. Αρχικά, ας […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Υπeρβάσεις – Aftermaths λέει:

4 Απριλίου 2021 στο 15:45

[…] οπότε και θα συγκλίνει – αυτό έπεται άμεσα από την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Με βάση τον παραπάνω ορισμό μπορούμε να βρούμε όμως […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (3α) – Aftermaths λέει:

18 Απριλίου 2021 στο 22:13

[…] ως τομές Dedekind ρητών αριθμών – για περισσότερα δείτε εδώ. Αφετέρου, έχουμε δει μία πιο αναλυτική διατύπωση του […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Τα πολλά πρόσωπα του αξιώματος της πληρότητας (3β) – Aftermaths λέει:

21 Ιουνίου 2021 στο 15:34

[…] επίπεδο τεχνικής από τις άλλες δύο που είδαμε – μέσω τομών Dedekind και βασικών ακολουθιών ρητών αριθμών – καθώς […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση
Ο/Η Ο Rolle και τα κουνούπια – aftermaths.gr λέει:

30 Ιανουαρίου 2022 στο 23:48

[…] είναι αυτά – αν θέλετε, μπορείτε να τα φρεσκάρετε από εδώ – αλλά θα παρουσιάσουμε μία βασική τους ταξινόμηση, […]

Μου αρέσει!Μου αρέσει!

Απάντηση