Μια εφαρμογή του de L’Hospital στην παραγωγισιμότητα

Κανόνες de L’Hospital, γνωστοί και μη εξαιρετέοι καθώς είναι από τα αγαπημένα όπλα στο οπλοστάσιο μιας/ενός υποψήφιας/ου των πανελληνίων εξετάσεων. Η αλήθεια είναι ότι οι εν λόγω κανόνες είναι από τα πράγματα που δεν ήθελα ποτέ να διδάσκονται νωρίς στην ενότητα των παραγώγων, μιας και είναι πολύ εύκολο να αρχίσει κανείς να τους εφαρμόζει κυκλικά, σε περιπτώσεις που δεν είναι γνωστή – ή ζητείται – η παραγωγισμότητα των εμπλεκόμενων συναρτήσεων. Αλλά αυτό είναι μία άλλη συζήτηση. Αυτή η ανάρτηση έχει ως σκοπό να πιάσει μία λεπτή – και εκτός ύλης – εφαρμογή των κανόνων του de L’Hospital.

Ας πάρουμε μία συνάρτηση $f$ που είναι ορισμένη εκατέρωθεν ενός σημείου $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $(a,b)$ που περιέχει το $x_0$ . Ο στόχος μας είναι να εξετάσουμε ποιες επιπλέον υποθέσεις μας χρειάζονται έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη και στο $x_0$ . Προφανώς, χρειαζόμαστε κάποια παραπάνω υπόθεση, γιατί η συνάρτηση $f(x)=|x|$ ικανοποιεί τις παραπάνω υποθέσεις γύρω από το $x_0=0$ , αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί.

Αφού θέλουμε την παραγωγισιμότητα της $f$ στο $x_0$ , θέλουμε, πρακτικά, να δείξουμε ότι υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο:

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Αν κάτσει κανείς να παρατηρήσει, αρχικά – όπως και κάθε όριο που έχει τη μορφή του ορισμού της παραγώγου – το εν λόγω όριο είναι της μορφής $0/0$ . Επίσης, η συνάρτηση $x-x_0$ είναι παραγωγίσιμη εκατέρωθεν του $x_0$ – και στο $x_0$ , αλλά δε μας απασχολεί αυτό, προς το παρόν – όπως και η συνάρτηση $f(x)-f(x_0)$ είναι παραγωγίσιμη εκατέρωθεν του $x_0$ , εξ υποθέσεως. Τι μας λείπει, λοιπόν, για να εφαρμόσουμε τον κανόνα του de L’Hospital για τη μορφή $0/0$ ;

Ξύνουμε λίγο το κεφάλι μας και θυμόμαστε ότι για να εφαρμόσουμε τον κανόνα του de L’ Hospital για τη μορφή $0/0$ πρέπει, πέρα από τα παραπάνω, να υπάρχει και το όριο:

$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{(f(x)-f(x_0))'}{(x-x_0)'}.$

Δηλαδή, αν κάνουμε τις λίγες πράξεις που φαίνονται, πρέπει να υπάρχει το όριο:

$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x).$

Μπορούμε, επομένως, να διατυπώσουμε το ακόλουθο λημματάκι, που θα δούμε πού μπορεί να μας φανεί χρήσιμο (η απόδειξη είναι, πρακτικά, όσα έχουμε γράψει παραπάνω):

Αν $f$ είναι μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $(a,b)$ η οποία είναι παραγωγίσιμη σε αυτό με εξαίρεση ίσως ένα σημείο $x_0\in(a,b)$ , για το οποίο όμως γνωρίζουμε ότι $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=\ell$ . Τότε η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ με $f'(x_0)=\ell$ .

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα που μπορούμε να εφαρμόσουμε το παραπάνω λήμμα. Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^3 & x\geq0\\x^2 & x<0\end{array}\right.$

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη εκατέρωθεν του $x_0=0$ με:

$f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2 & x>0\\2x & x<0\end{array}\right.$

Επίσης, εύκολα βλέπουμε ότι το όριο $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=0$ επομένως, από το παραπάνω έχουμε αμέσως ότι $f'(0)=0$ .

Να κάνουμε και κάποιες παρατηρήσεις για το παραπάνω:

Αρχικά, το παραπάνω λήμμα μας λέει κάτι πιο ζουμερό από αυτό που βλέπουμε. Αν το ερμηνεύσουμε λίγο διαφορετικά, μας λέει ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη εκατέρωθεν ενός σημείου και έχει όριο σε αυτό τότε είναι συνεχής σε αυτό – αφού και υπάρχει εκεί η παράγωγος και είναι ίση με το όριο της $f'$ .
Από το παραπάνω, βλέπουμε ότι, αν μία παράγωγος δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο της, τότε πρέπει να είναι ουσιωδώς ασυνεχής. Με άλλα λόγια, δε γίνεται να βρούμε συνάρτηση που να είναι παράγωγος κάποιας άλλης, να υπάρχει το όριό της σε ένα σημείο και, ωστόσο, εκεί να είναι ασυνεχής γιατί η τιμή της είναι διαφορετική από το όριό της. Έτσι, μία παράγωγος, για να είναι ασυνεχής σε ένα σημείο $x_0$ πρέπει να μην υπάρχει το όριό της σε αυτό το σημείο.
Ένα βήμα παρακάτω, ας παρατηρήσουμε ότι το παραπάνω λήμμα δεν καλύπτει όλες τις περιπτώσεις, υπό την έννοια ότι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι παραγωγίσιμες σε όλο το πεδίο ορισμού τους, ωστόσο δεν υπάρχει το όριο της παραγώγου τους σε κάποιο σημείο – άρα δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του παραπάνω λήμματος. Ίσως το πιο κλασσικό παράδειγμα να είναι η συνάρτηση:
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\sin\frac{1}{x}&x\neq0\\0&x=0\end{array}\right.$
Η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι εύκολο να δούμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ – για το $x_0=0$ δεν έχουμε παρά να δούμε ότι $\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=x\sin\frac{1}{x}$ της οποίας το όριο υπάρχει (μηδενική επί φραγμένη). Ωστόσο, αν ασχοληθούμε με την παράγωγο της $f$ , θα δούμε ότι η κατάσταση είναι λίγο πιο προβληματική. Αρχικά, παρατηρούμε ότι:
$f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}&x\neq0\\0&x=0\end{array}\right.$
Αυτή η συνάρτηση τώρα, δεν είναι συνεχής στο $x_0=0$ , μιας και το όριό της στο $0$ δεν υπάρχει. Για να το δούμε αυτό, ας παρατηρήσουμε λίγο τη γραφική της παράσταση κοντά στο $0$ .

Μία ουσιωδώς ασυνεχής συνάρτηση – αν θέλετε να παίξετε λίγο μαζί της, μπορείτε να τη βρείτε και εδώ.

Άλλο ένα πράγμα που μπορούμε να συμπεράνουμε από τα παραπάνω είναι ότι δεν προκύπτουν όλες οι συναρτήσεις ως παράγωγοι κάποιας άλλης συνάρτησης. Με λίγα λόγια, συναρτήσεις όπως η ακόλουθη:
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 & x\neq1\\15 & x=1\end{array}\right.$
δεν μπορούν να προκύψουν ως παράγωγος κάποιας άλλης συνάρτησης – ή, με άλλα λόγια, δεν έχουν κάποια παράγουσα στο πεδίο ορισμού τους.

Ωραία όλα αυτά, αλλά, εφ’ όσον είναι εκτός ύλης για τις πανελλήνιες, τι τα συζητάμε; Πέρα από το ότι τα μαθηματικά είναι ωραία κ.λπ., το να έχουμε εικόνα των πραγμάτων και λίγο έξω από τα στενά πλαίσια της ύλης μας είναι αρκετά χρήσιμο, μιας και έτσι διευρύνεται η ματιά μας πάνω στο αντικείμενο. Το λημματάκι αυτό, ακόμα κι αν δεν μπορούμε να το «εμφανίσουμε» σε ένα επίσημο γραπτό, μας δίνει απάντηση σε διάφορα ερωτήματα, πολλές φορές «με μια ματιά». Έτσι, ξέροντας εκ των προτέρων ποιος είναι ο «σωστός δρόμος», μπορούμε να συντονίσουμε καλύτερα τις ενέργειές μας. Επιπρόσθετα, το παραπάνω λημματάκι βοηθάει σημαντικά στο να ξεσκονίζουμε εύκολα συναρτήσεις που δεν έχουν παράγουσα – πράγμα που, εν μέρει, βοηθά και στο κεφάλαιο των ολοκληρωμάτων.

Μιλήσαμε λίγο χαλαρά παραπάνω για ουσιώδεις και επουσιώδεις ανωμαλίες. Πιο τυπικά, μία (πραγματική) συνάρτηση λέμε ότι έχει ουσιώδη ανωμαλία σε ένα σημείο αν δεν υπάρχει το όριό της εκεί ενώ λέμε ότι η ανωμαλία εκεί είναι επουσιώδης αν το όριό της υπάρχει αλλά δεν είναι συνεχής εκεί. Η διαίσθηση πίσω από αυτούς τους ορισμούς είναι αρκετά απλή. Αν η συνάρτηση έχει επουσιώδη ανωμαλία τότε δεν είναι συνεχής εκεί, αλλά άμα «φτιάξουμε» λίγο την τιμή της και την εξισώσουμε με το όριό της, τότε γίνεται συνεχής – με άλλα λόγια, η ανωμαλία μπορεί να αρθεί. Από την άλλη, όταν η ανωμαλία είναι ουσιώδης, το θέμα δεν παρουσιάζεται στο σημείο εκείνο αλλά σε μία ολόκληρη περιοχή γύρω από το σημείο, οπότε και δεν μπορούμε να κάνουμε κάτι για να διορθώσουμε τη συνάρτηση – η ανωμαλία δεν μπορεί να αρθεί.

Η κεντρική εικόνα είναι ο πίνακας Η σφαγή της Κορέας του Pablo Picasso.

Καλό απόγευμα και καλή χρονιά!