Διδάσκοντας, έστω και για λίγα χρόνια, την ύλη των Μαθηματικών Προσανατολισμού (τέως Κατεύθυνσης) της Γ’ Λυκείου άρχισα να αποκτώ την εντύπωση ότι, τουλάχιστον για όσους αγαπούν τα μαθηματικά, είναι ίσως το πιο ενδιαφέρον κομμάτι των μαθηματικών που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Έχει όμως την ατυχία να διδάσκεται σε μία χρονιά που όλοι τρέχουν και δεν φτάνουν με σχολεία, φροντιστήρια, ιδιαίτερα (ή και μόνοι τους) να προλάβουν να βγάλουν την ύλη, τις ατέλειωτες μεθοδολογίες, τις ασκήσεις και όλα αυτά που όσοι δώσαμε, κάποτε, Πανελλαδικές, τα θυμόμαστε.

Δεν είναι όμως κρίμα ένα μέρος των μαθηματικών με τόσες νέες και κομβικές για την επιστήμη έννοιες να περνάει και να μην ακουμπάει από τα μυαλά των μαθητών; Είναι ίσως η χρονιά που ένας μαθητής συναντά ορδές νέων εννοιών και καλείται να αντιμετωπίσει τα μαθηματικά από τελείως άλλη σκοπιά, να τα δει με άλλο μάτι και να ξεφύγει από τους αλγεβρικούς χειρισμούς, μπαίνοντας, σταδιακά, στο σκεπτικό της Ανάλυσης. Κι όλα αυτά πρέπει να χωρέσουν μαζί με πλούσια ασκησεολογία που να μπορεί να καλύψει τις απαιτήσεις των θεμάτων, πράγμα που φαντάζει αδύνατο να γίνει μέσα σε μία σχολική χρονιά. Ίσως, όμως, ακόμα και σε αυτά τα πλαίσια, να είναι δυνατό να εισαχθούν οι μαθητές στις βασικές έννοιες της ανάλυσης, παράλληλα με την «τεχνική» τους κατάρτιση.

Έτσι κάπως γεννήθηκε η ιδέα των εν λόγω σημειώσεων που έχουν σαν στόχο να εισάγουν τις έννοιες που πραγματεύεται η φετινή ύλη με έναν τρόπο διαφορετικό από αυτόν του σχολικού βιβλίου. Για την ακρίβεια, σε αυτές τις σημειώσεις ο στόχος είναι να παρουσιαστούν οι έννοιες με έναν τρόπο που να είναι αρκετά κοντά στον τρόπο με τον οποίο αυτές παρουσιάζονται σε ένα τυπικό μάθημα απειροστικού λογισμού, χωρίς όμως να εστιάζουμε στα αμιγώς τεχνικά ζητήματα που προκύπτουν κατά τη θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού. Για παράδειγμα, δεν γίνεται, προφανώς, καμμία απόπειρα να δοθεί ένας ορισμός αλλά, αντιθέτως, χρησιμοποιείται – όπως μπορεί να διαπιστώσει όποιος έχει γνώσεις Απειροστικού Λογισμού – η, ισοδύναμη με τον ορισμό, Αρχή της Μεταφοράς, με έναν αρκετά κεκαλυμμένο τρόπο (για περισσότερα, βλ. το δεύτερο κεφάλαιο).

Στόχος δεν είναι, προφανώς, να μάθουν οι μαθητές Απειροστικό Λογισμό, αλλά να δοθεί το απαραίτητο βάθος στις έννοιες που εισάγονται και να ξεφύγουμε από την τυπική «φροντιστηριακή» διαδικαστική προσέγγιση της ύλης. Το βασικό επιχείρημα για μία διδασκαλία που είναι εννοιοκεντρική είναι ότι, μακροπρόθεσμα, ο μαθητής θα αποκτήσει την δυνατότητα να χειρίζεται τις διαδικασίες, τις τεχνικές και, κυρίως, τις έννοιες που θα συναντήσει με μεγαλύτερη άνεση, αλλά ταυτόχρονα θα έχει και μία ουσιαστική κατανόηση του αντικειμένου.

Εστιάζοντας λίγο στο πρώτο κεφάλαιο αυτών των σημειώσεων, αυτό ξεκινάει με κάποια προβλήματα, μεγάλα ή μικρά, αμιγώς μαθηματικά ή και πιο καθημερινά. Όλα αυτά τα προβλήματα χρειάζονται – τουλάχιστον για να λυθούν άνετα – έννοιες που συναντά κανείς στην ύλη της Γ’ Λυκείου, με αποτέλεσμα, αν κάποιος προσπαθήσει να τα λύσει, πιθανότατα, να συναντήσει σημαντικές δυσκολίες. Στόχος είναι αυτά να αποτελέσουν ένα κίνητρο για τους μαθητές να μελετήσουν με μεγαλύτερη όρεξη και ενδιαφέρον τα μαθηματικά, στο βαθμό που αυτό είναι εφικτό. Επίσης, έχει γίνει προσπάθεια αυτά τα προβλήματα να καλύπτουν βασικές έννοιες όλης της ύλης έτσι ώστε να φαίνεται η αναγκαιότητα αυτών των εννοιών.

Στη συνέχεια, ακολουθεί μία συζήτηση γύρω από την έννοια της συνάρτησης και το πώς δεν είναι, τελικά, όλες οι αντιστοιχίσεις του κόσμου συναρτήσεις. Δίνεται, επίσης, έμφαση και στην έννοια της γραφικής παράστασης συνάρτησης αφού αυτή είναι ένα από τα κύρια εποπτικά μέσα που έχουμε στη διάθεσή μας για να διαχειριστούμε όλους αυτούς τους τεχνικούς ορισμούς της ανάλυσης (ακόμα και ο ορισμός της μονοτονίας δεν είναι τόσο «φιλικός» προς τον μαθητή χωρίς ένα σχετικό σχήμα για επεξήγηση). Ακόμα και μετά την εισαγωγή των πράξεων μεταξύ συναρτήσεων, δίνονται βασικές τεχνικές για τη χάραξη γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων που προκύπτουν με βάση τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων και κάποιες πράξεις (π.χ. οριζόντια/κατακόρυφη μεταφορά ή απόλυτη τιμή συνάρτησης κ.λπ.). Τέλος, δίνονται και δύο βασικές εφαρμογές των εννοιών που παρουσιάζονται σε αυτό το κεφάλαιο, σε σχέση με την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων οι οποίες ακολουθούνται από ασκήσεις πάνω στην προαναφερθείσα ύλη.

Επιπρόσθετα, όπως αναφέρεται και στο εξώφυλλο, η έκδοση είναι πρόχειρη, επομένως, περιέχει αρκετά λάθη, είτε τυπογραφικά είτε μικρο-αριθμητικά αλλά και άλλα. Θα ήταν, επομένως, θεμιτό, όσοι από εσάς ασχοληθείτε με τις εν λόγω σημειώσεις και εντοπίζετε τέτοια λάθη, να τα επισημαίνετε μέσω της σελίδας επικοινωνίας.

Οι σημειώσεις βρίσκονται εδώ καθώς και στη σελίδα του διδακτικού υλικού.

Η γελοιογραφία του εξωφύλλου προέρχεται από εδώ, ενώ, η κεντρική εικόνα του άρθρου είναι ο πίνακας Ανατολή της Σελήνης πλάι στη θάλασσα, του Caspar David Friedrich.

Καλό μας βράδυ!